Bonjour,

C'est juste une petite aide.

1) On me demande de déterminer 2 propriétés sur une fonction numérique définie sur tout R, impaire et admettant une dérivée troisième continue sur R.

Ma réponse : on a evidemment : f(-x)=-f(x), f(0)=0 et f(0)=f ' ' (0)=0

2) Avec l'aide de la formule de Taylor Lagrange, on montre qu'on peut associer à f une fonction g telle que :
f(x)=xf' (xg(x)) et g est dans ]0,1[
A quel ordre faut il appliquer TL ? A t-on l'unicité de g ?

Ma réponse : pour cela, il faut lui appliquer TL à l'ordre 3 car f(0)=f ' ' (0)=0.
De plus, on a bien l'unicité de g ?

3) On suppose maintenant que f ' ' ' (0) est non nul. On veut donner l'expression de g pour déterminer sa limite pour x tend vers 0. On applique TL à l'ordre 2 à la fonction f' sur [0,u] (0<u<x).
En faisant le changement de variable u=xg(x) on a :
f ' (u)=f ' (0)+(u^2/2) f ' ' ' (h.u) (avec h qui est dans ]0,1[)

Exprimer (x^6/6) f ' ' ' (g.x) et en déduire lim g(x) pour x tend vers 0.

Mes réponses :
-> (x^6/6) f ' ' ' (g.x)=(x^2/2).(g(x))^2.f ' ' '(h.g(x)x)

->D'où lim g(x)=1/[RACINE DE 3] pour x->0

En vous remerciant pour cette aide précieuse.