Equation complexe et triangle équilatéral

[invite09e593f7]

Bonjour à tous. Je suis confronté à un petit exo, et un ptit coup de puce s'impose. Voici l'énoncé.
1- A,B,C les sommets d'un triangle équilatéral. Existe-til une rotation de centre A envoyant B sur C. Si oui laquelle?
2- a,b,c des complexes. Montrer qu'ils sont les sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

Alors la première question n'est pas trop dure. J'ai donc écris la rotation comme suit :

En remplaçant c par ça définition dans l'équation, on trouve bien 0. Mais je ne trouve pas la réciproque. J'ai remarqué que l'équation peut s'écrire (a-b²)+(b-c)²+(c-a)²=0.

Donc voila, peut-être le résultat est quasi évident, mais là je ne vois pas. Si une petite âme pouvait guider mes pas....

Merci!
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[invitea3eb043e]

Histoire d'alléger l'écriture, on peut dire que tu es face à 3 nombres complexes A, B et C tels que :
A + B + C = 0
A² + B² + C² = 0
Donc A + B = -C
A² + B² = -C²
Que se passe-t-il si tu élèves la 1ère ligne au carré et que tu soustrais la seconde ?
Peux-tu calculer A et B en fonction de C ?

[invite09e593f7]

Alors j'arrive a plein d'équations du style A²+AB+B²=0, mais j'ai l'impression de tourner en rond. Et puis avant d'aller plus loin, pourquoi tu as A+B+C=0?

[invite57a1e779]

1- A,B,C les sommets d'un triangle équilatéral. Existe-til une rotation de centre A envoyant B sur C. Si oui laquelle?
2- a,b,c des complexes. Montrer qu'ils sont les sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si a2+b2+c2-ab-bc-ca=0

Alors la première question n'est pas trop dure. J'ai donc écris la rotation comme suit :

En remplaçant c par ça définition dans l'équation, on trouve bien 0. Mais je ne trouve pas la réciproque. J'ai remarqué que l'équation peut s'écrire (a-b2)+(b-c)2+(c-a)2=0.

Attention, suivant l'orientation du triangle équilatéral, l'angle de la rotation peut être , auquel cas tu as .

En posant et , le triangle est équilatéral si, et seulement si, ou si, et seulement si, .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Alors j'arrive a plein d'équations du style A²+AB+B²=0, mais j'ai l'impression de tourner en rond. Et puis avant d'aller plus loin, pourquoi tu as A+B+C=0?

Parce que (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0
Ensuite tu es au bout de tes peines quand tu as écrit
A² + AB + B² = 0
parce que si tu considères cela comme une équation du second degré en A tu peux calculer A en fonction de B.
Tu interprètes cela en pensant que A est l'affixe du vecteur AB (par exemple, ça dépend de tes notations).

[invite09e593f7]

Attention, suivant l'orientation du triangle équilatéral, l'angle de la rotation peut être , auquel cas tu as .

En posant et , le triangle est équilatéral si, et seulement si, ou si, et seulement si, .

Ok la méthode me plaît!^^
Mais le hic ce que je n'arrive pas à zz'=0 avec l'équation comme hypothèse. J'ai quelques termes non nuls en trop.

[invite57a1e779]

Ok la méthode me plaît!^^
Mais le hic ce que je n'arrive pas à zz'=0 avec l'équation comme hypothèse. J'ai quelques termes non nuls en trop.

J'ai fait une erreur de signe dans et , les bonnes valeurs sont :
et .Avec et , il n'est plus très difficile d'obtenir

[invite09e593f7]

C nikel!! Merci^^