Equation non linéaire

[yaesen]

Bonsoir à tous,

Je cherche une méthode pour résoudre une équation différentielle de type:

f(t)² x f''(t) = -A

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp?
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[invitebe0cd90e]

Euh, arrete moi si je me trompe (il est tard), mais il suffit de calculer la primitive des 2 cotés du signe =, non ??? La forme f^2 f' devrait te rappeller quelque chose, ensuite tu auras une expression d'un avatar de f et tu devrais pouvoir conclure..

[invite35452583]

Oui, c'est ce que l'on appelle la méthode de séparation des variables. Pour une équation non linéaire, on cherche à la mettre sous la forme f(y)y'=g(x). Si F est une primitive de f et G une primitive de g, on a alors F(y)'=G'(x) donc F(y)=G(x)+constante. Après il reste à inverser F (parfois il faut prendre des restrictions).
Evidemment cela suppose
i) de pouvoir la mettre sous la forme voulue mais, sur ton exemple, c'est le cas dès le départ (g(x)=constante).
ii) de pouvoir calculer F et G mais, ici, c'est facile.
iii) de pouvoir inverser F mais, ici, c'est facile aussi.
Tu es donc dans un cas plus agréable

[yaesen]

Manifestement, l'équation n'apparait pas très clairement sur la page:
f(t)² x f ''(t) = -A (il s'agit d'une dérivée seconde, et c'est bien là le problème)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Manifestement, l'équation n'apparait pas très clairement sur la page:
f(t)² x f ''(t) = -A (il s'agit d'une dérivée seconde, et c'est bien là le problème)

C'est plus délicat en effet.
Au pif (sans méthode véritable à part penser à une solution sous forme de puissance puis calculer l'exposant et le coefficient multiplicateur), j'ai trouvé que y=(ax+b)^2/3 est solution (nulle pour A=0 mais dans ce cas l'équation revient à y"=0).
Il y a peut-être quelques conditions initiales qui n'acceptent pas de solutions de ce type mais je pense que l'essentiel des solutions y sont. Je te laisse voir ça.

[invite99377639]

C'est une équation différentielle du second ordre sans la variable t. Par conséquent, on effectue un changement de variable, ce qui nous ramènera à résoudre une équation différentielle du premier ordre par séparation des variables.
Poser f'(t)=df/dt=z d'où f''(t)=dz/dt=dz/df*df/dt=dz/df*z
A remplacer dans ton équation. On obtient l'équation du premier ordre à variables séparables suivantes:

En intégrant, tu trouveras f en fonction de z. Il faut ensuite trouver z en fonction de t. Pour cela, on dérive f(z) par rapport à z, puis on résout une seconde équation différentielle du premier ordre, sachant que dt=df/z=df/dz*dz/z. Tu trouveras ainsi f(z(t)) en remplaçant les variables adéquates.

Meilleures salutations.

[yaesen]

Merci pour ces réponses, Homotopie, j'ai compris comment tu as fait, mais par contre, Algaiir, j'ai du mal avec ta methode... en fait je tourne en rond...

[invite99377639]

Je te le résous sans les constantes d'intégration:


Nous avions posé que df/dt=z, soit df/dz*dz/dt=z. Sachant que df/dz=-A/z³, on a:


Tu remplaces z de f(z) par z(t), et tu obtiens une forme simpifiée (constantes d'intégration exclues) de la solution à Homotopie. CQFD
C'est la méthode officielle pour résoudre une équation différentielle non linéaire du second ordre sans la variable t.

[invite35452583]

Je te le résous sans les constantes d'intégration:


Nous avions posé que df/dt=z, soit df/dz*dz/dt=z. Sachant que df/dz=-A/z³, on a:


Tu remplaces z de f(z) par z(t), et tu obtiens une forme simpifiée (constantes d'intégration exclues) de la solution à Homotopie. CQFD

Intéressant, je ne connaissais pas du tout.

C'est la méthode officielle pour résoudre une équation différentielle non linéaire du second ordre sans la variable t.

Tu veux dire "usuelle" et non "officielle", non ?

Je constates qu'aucune solution trouvée ne satisfait des conditions initiales du type f(x₀) non nul, f'(x₀)=0 alors que l'équation y"y²=-A en accepte si je ne me trompe pas, une idée ?

[edpiste]

[QUOTE=Algaiir;1627283]Je te le résous sans les constantes d'intégration:


Il y a une constante d'intégration qui a disparu ici, cequi devrait donner les solutions manquantes

[invite35452583]

[QUOTE=edpiste;1631752]

Je te le résous sans les constantes d'intégration:


Il y a une constante d'intégration qui a disparu ici, cequi devrait donner les solutions manquantes

En effet mais la résolution sous forme exacte s'arrête là à mon avis car si je ne me suis pas trompé on aboutit (aux erreurs de calculs près) à :
C la constante d'intégration
C>0, x=-4A/(z+C)²+2A/C^3/2arctg(z/C^1/2)+constante
C<0, x=-4A/(z+C)²+A/C²ln(l(z-c)/(z+c)l)
Et là je pressens une petite difficulté pour isoler z.

[God's Breath]

Intéressant, je ne connaissais pas du tout.

Tu veux dire "usuelle" et non "officielle", non ?

J'ai pourtant appris cette méthode quand j'étais petit pour résoudre les équations différentielles , incomplères en la variable comme on disait à l'époque...

1. On cherche les solutions constantes.
2. On cherche les solutions variables en déterminant en fonction de , avec la notation traditionnelle ( pour pente de la tangente).
On écrit
et l'équation différentielle devient du premier ordre.
Si on arrive à expliciter , il reste à résoudre une équation à variables séparables : .

Dans le cas qui nous intéresse, en supposant non nul, sinon les solutions sont immédiates, ne peut s'annuler.
On écrit , d'où qui s'intègre en ; on peut séparer les variables :

et il reste une intégrale abélienne à calculer...

[invite35452583]

J'ai pourtant appris cette méthode quand j'étais petit pour résoudre les équations différentielles , incomplères en la variable comme on disait à l'époque...

Je devais être malade ce jour là. ou alors... j'ai oublié

Dans le cas qui nous intéresse, en supposant non nul, sinon les solutions sont immédiates, ne peut s'annuler.
On écrit , d'où qui s'intègre en ; on peut séparer les variables :

et il reste une intégrale abélienne à calculer...

Ah oui ça permet d'aller plus loin par cette voie.

Bon, il faut que je révise les équations différentielles...

[God's Breath]

Je devais être malade ce jour là. ou alors... j'ai oublié

Mon enfance remonte à un époque où tu étais encore en couche-culottes.
J'ai enseigné cette méthode jusque qu'en 1996.

[ericcc]

Voui, je confirme j'avais appris la même...

[ericcc]

Mais j'avais également appris que quand l'équation ne comportait pas y' (ni x), alors il suffisait de multiplier les deux membres par y' pour arriver au résultat. Ce qui est exactement le caclul de God's Breath.

[yaesen]

Merci à tous pour ces réponses !! ;p