Sur-corps de Q

[invite6de5f0ac]

Bonjour à tous,

Je suis en train de rédiger un rapport de recherche qui commence (à peu près) par:

"On désigne par E un espace vectoriel de dimension n finie et non nulle, sur un corps K supposé commutatif et de caractéristique zéro.
Le sous-corps premier de K est donc naturellement isomorphe au corps Q des nombres rationnels, auquel il sera identifié."

Jusque là, c'est de bonne guerre. Que K soit commutatif, c'est par commodité ; le sujet traité conduit rapidement à l'algèbre non commutative, mais on essaye de ne pas y aller trop violemment. En revanche, je m'aperçois qu'en fait tout ce dont j'ai besoin est que Q soit un sous-corps de K.

Par acquit de conscience, est-ce que je peux relâcher les hypothèses sur K (autrement qu'en disant "sur un corps K contenant Q comme sous-corps") ? C'est juste par curiosité.

Merci d'avance,

-- françois
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[indian58]

Ce n'est pas parce qu'un corps contient Q qu'il est nécessairement commutatif.

[invitebe0cd90e]

Je pense que la question est plutot "est ce qu'un corps non commutatif de caracteristique 0 contient Q".

Et la reponse est a mon avis oui. On a toujours une application injective de Z dans K qui envoit n sur 1+1+...+1, c'est evidemment un morphisme de groupe, et le fait que ca soit un morphisme d'anneau decoule uniquement de la distributivité, vu qu'en l'utilisant on se ramene a des produits 1*1 qui valent toujours 1.
n*m --> (1+1+1...+1)(1+1+1...+1)=1+1+1 +1...+1 m*n fois.
C'est d'ailleurs pour ca que ca marche quelle que soit la multiplication sur K, et donc la commutativité n'intervient pas. Enfin il me semble.

[God's Breath]

Je pense que la question est plutot "est ce qu'un corps non commutatif de caracteristique 0 contient Q".

Tout corps contient un des corps ou , premier.
La définition d'un corps de caractéristique 0, c'est qu'il contient .

Si vous êtes gêné par la non-commutativité éventuelle du corps, il suffit de raisonner sur son centre, qui est un corps commutatif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Hello,

Juste on peut donner un exemple, le corps des quaternions, ça suffit à se faire une idée non ?

[invite35452583]

Autre exemple : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AM...__8_2_61_0.pdf
concernant les corps gauches de dimension finie sur R mais pour lesquels R est non central. Q, à isomorphisme près, en est bien un sous-corps (central).
L'argument précis et concis de God's Breath est excellent ( le sous-corps engendré par 1 est central et ne peut être que Q en caractéristique 0 quelque soit la définition pour cette dernière).

[invite47f59165]

d'accord avec GOD'S Breath et HOMOTOPIE .Mais j'ai essaye d'etre tres rigoureux en appliquant la commutativite et un isomorphisme reels .je cale sur le chemin ou le lien commutativite isomorphisme car je pense que cela est la bonne voie

AMBROSIO ET HOMOTOPIE excusez moi de n'avoir pasdonner suite a vos
reponses sur la conjecture des 6 points a relier entre" eux sans croisement..
Mais je suis toujours sur ce sujet

[invite6de5f0ac]

Merci de vos réponses (je m'absente deux jours et hop, déjà tout ça...)

J'ai absolument besoin que le corps K contienne Q, donc soit de caractéristique zéro. En revanche je n'utilise pas explicitement la commutativité.

Cela dit, les complications liées à un corps non commutatif sont telles que je ne vois pas vraiment l'intérêt de lever cette seule restriction. Mais par curiosité, je me posais la question...

-- françois