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[Stat] Démontrer une égalité



  1. #1
    Bleyblue

    [Stat] Démontrer une égalité


    ------

    Bonjour,

    Si j'ai X1,...,Xn des variables aléatoires indépendantes identiquements distribuées de loi normale et si X et s² désignent les moyennes et variances échantillon je cherche à montrer que :



    est égal à :



    J'ai bien essayé de développer le carré mais je ne vois pas comment on arrive à faire apparaître un :



    Merci

    -----

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  4. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    salut,

    ça ne dépend pas de la distribution des Xi, et ça s'appelle "théorème d'Huyghens". Tu peux d'ailleurs remplacer $\mu$ par n'importe quelle autre valeur.

  5. #3
    invite43219988

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    Bonjour.
    Quand tu développes ton carré, dans le terme en , laisse le tel quel et developpe ce qui reste à développer.

  6. #4
    Bleyblue

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    Eh bien ça donne ça :



    et en développant j'arrive à simplifier ça un peu mais ça ne donne rien d'intéressant ...


    merci

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  8. #5
    God's Breath

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message


    et en développant j'arrive à simplifier ça un peu mais ça ne donne rien d'intéressant ...
    C'est une formule barycentrique :

    et , donc

  9. #6
    invite43219988

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    Ok j'ai dit des bêtises.
    Le but.
    En développant complètement ce que tu as dans ta deuxième somme, tu dois obtenir :


    Il faut remarquer que
    Tu peux donc réécrire :


    La tu fais apparaître de la même manière du dans le produit de droite pour ensuite factoriser. Le 1/n devrait se mettre en facteur et la somme qu'il te reste à appliquer devrait te donnr le carré. Je n'ai pas vérifié ça mais je regaderais après manger. Mais à mon avis ça marche !

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  11. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    sinon il y a une manière plus expéditive: on se place dans R^n, et on note Y le vecteur de coordonnées (X1,..,Xn), X le vecteur de coordonnées (X,..,X) et le vecteur de coordonnées (j'aurais préféré d'autres notations..). Alors c'est facile de voir que (X-Y) et X sont orthogonaux: le produit scalaire est et donc X est la projection de Y sur la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1,...,1) (la diagonale). alors le théorème d'Huyghens n'est qu'une autre expression du théorème de Pythagore:

  12. #8
    Bleyblue

    Re : [Stat] Démontrer une égalité

    Ok je vois mieux

    merci à tous

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