Euler était-il fou ?

**Antikhippe** · 19/12/2004, 22h38

Bonsoir !

Je viens de lire des trucs bizarre...
Par exemple : pour Euler, $\text{[math]}$ alors que moi, je trouve que ça fait alternativement 1 ou 2, suivant que n est pair ou impair.
ou encore, pour tout physicien théoricien : $\text{[math]}$ ! = $\text{[math]}$ alors que pour moi, ça fait $\text{[math]}$ .

Je ne sais pas du tout si cela est provocateur ou si c'est vrai. Mais si ce n'est pas faux, c'est que c'est vrai dans une autre partie des mathématiques habituelles, non ? Est-ce qu'il existe des applications directes de ces formules ?
Bref, si vous avez un quelconque renseignement, faîtes-m'en part !

Merci.

invite9e95248d · 19/12/2004, 22h49

euh pour ta somme j'aurais tendance à penser que ça fait zéro ^^
enfin je vois pas ce que la parité de n vient faire la dedans puisque on somme sur n.
Apres les matheux de plus d'un siecle, avaient un niveau de maths (en connaissance je parle) pas si avancé que ça par rapport à aujourd'hui, et ils ont fait pas mal de boulettes.
Pour en revenir à la somme perso je vois bien -1 0 ou 1, mais 1/2 j'aimerais bien voir la démo, ceci dit c'set pas impossible

**Sephi** · 19/12/2004, 22h53

Cette série ne converge pas; la suite des sommes partielles ne converge pas étant donné que 2 sous-suites (une pour n impair et une pour n pair) convergent toutes les 2 vers deux limites différentes ...

Ceci dit, cette série alterne entre 0 et 1, donc choisir 1/2 serait une sorte de 'moyenne' ... tu as vu ça dans quel contexte ?

**Antikhippe** · 19/12/2004, 22h57

Envoyé par Sephi

tu as vu ça dans quel contexte ?

C'est d'après une conférence de Michel Mendès-France.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Antikhippe** · 19/12/2004, 23h04

Envoyé par folky

euh pour ta somme j'aurais tendance à penser que ça fait zéro ^^
enfin je vois pas ce que la parité de n vient faire la dedans puisque on somme sur n.

Je me suis trompé, je voulais dire que ça faisait soit 1, soit 0.
Pourquoi ça ne fait pas 1 quand n est pair et 0 quand n est impair ?
Exemple : jusqu'à n=4, on a :
$\text{[math]}$
et jusqu'à n = 3, on a : $\text{[math]}$

**Theyggdrazil** · 19/12/2004, 23h04

Ca tombe bien j'ai un ADS à préparer sur l'utilisation des séries divergentes et les théories asymptotiques dans lequel on parle justement de ça. Je ne peux absolument pas te l'expliquer, ce n'est pas de mon ressort et je n'ai pas encore travaillé le document (je l'ai juste survolé), toutefois je peux te donner l'adresse du fichier en question:

http://math.polytechnique.fr/xups/vol91.html

Il y est dit que le premier à avoir dit que 1-1+1-1+1-1... =1/2 serait Leibniz et non euler

**Theyggdrazil** · 19/12/2004, 23h05

Parce que la somme varie de 0 à +inf et que l'infini n'est ni pair ni impair

**Antikhippe** · 19/12/2004, 23h08

Envoyé par Theyggdrazil

http://math.polytechnique.fr/xups/vol91.html

Merci Theyggdrazil pour le lien, mais si je ne vais rien comprendre, vu la source !!! (lol)

Envoyé par Theyggdrazil

Il y est dit que le premier à avoir dit que 1-1+1-1+1-1... =1/2 serait Leibniz et non euler

Il y a écrit sur le livre que c'est Euler, mais il n'y a pas écrit que c'est le premier à l'avoir dit !

Merci pour vos réponses ! Continuez !!!

**Sephi** · 19/12/2004, 23h25

J'ai lu un peu le passage dans le document à propos de cette série ... apparemment, la limite de la série est calculée par une méthode appelée sommation par moyenne, qui consiste simplement à calculer la limite de la suite des moyennes arithmétiques ... et cette suite converge effectivement vers 1/2.

**Antikhippe** · 19/12/2004, 23h32

Envoyé par Sephi

et cette suite converge effectivement vers 1/2.

Soit. Et pour la deuxième égalité ??? Qu'en pensez-vous ?

**martini_bird** · 20/12/2004, 15h31

Salut,

à propos de la première somme: Euler a prolongé la formule qui donne la somme d'une série géométrique. Ce résultat est archi-faux dans le corps des réels ou des complexes, car la série est clairement divergente.

Pourtant, dans une autre extension (complétion) de Q, où la métrique est différente, cette série converge! Je vous invite à regarder du coté des nombres p-adiques.

Cordialement.

PS: Au sujet de la seconde égalité, je n'ai pas d'idée, il faudrait voir dans le contexte, je pense.

invite787e8665 · 20/12/2004, 16h27

Envoyé par Antikhippe

Bonsoir !
pour tout physicien théoricien : $\text{[math]}$ ! = $\text{[math]}$ alors que pour moi, ça fait $\text{[math]}$ .

Normal car tu n'a pas la vrai formule (formule de Stirling et de De Moivre) qui est en fait:

$\text{[math]}$ ! = $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ tend vers 0 pour n tend vers $\text{[math]}$

**martini_bird** · 20/12/2004, 16h30

Envoyé par R is R

Normal car tu n'a pas la vrai formule (formule de Stirling et de De Moivre) qui est en fait:

$\text{[math]}$ ! = $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ tend vers 0 pour n tend vers $\text{[math]}$

Hum, je crois qu'il eût été de bon goût de remplacer le symbole oo par n...

**Antikhippe** · 20/12/2004, 16h38

Salut et merci pour ta réponse, martini_bird

Envoyé par martini_bird

PS: Au sujet de la seconde égalité, je n'ai pas d'idée, il faudrait voir dans le contexte, je pense.

C'est dans la conclusion de la conférence qui elle, porte sur le pliage du papier, les fractions continues dont celle de Kmosek et Shallit...

invite787e8665 · 20/12/2004, 16h42

Envoyé par martini_bird

Hum, je crois qu'il eût été de bon goût de remplacer le symbole oo par n...

Il voulait la formule en $\text{[math]}$

Au pire ca donne juste :

n! = $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ tend vers 0 pour n tend vers $\text{[math]}$ [/QUOTE]

**Quinto** · 20/12/2004, 17h24

Envoyé par R is R

Normal car tu n'a pas la vrai formule (formule de Stirling et de De Moivre) qui est en fait:

$\text{[math]}$ ! = $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ tend vers 0 pour n tend vers $\text{[math]}$

Ce n'est surement pas la bonne formule, c'est juste un comportement asymptotique.

La "bonne formule" est celle de Gamma...

**Antikhippe** · 20/12/2004, 18h05

Envoyé par Quinto

La "bonne formule" est celle de Gamma...

C'est-à-dire ?

**Quinto** · 20/12/2004, 18h37

C'est à dire :
gamma(z)=intégrale sur R+ de t^(z-1)exp(-t)dt

On a que n!=gamma(n+1) pour tout n.

invite787e8665 · 20/12/2004, 23h53

L'autre formule est également bonne, j'en est parlé a mon docteur en maths

**Quinto** · 21/12/2004, 00h26

L'autre formule n'est bonne que pour un équivalent de la factorielle en l'infini.

**Quinto** · 21/12/2004, 00h36

OK, méa culpa, je n'avais pas vu le u qui tend vers 0.
Cela étant, cette écriture n'est pas très pratique (bien qu'intéressante dans ce cas précis ou l'on cherche un équivalent)

**martini_bird** · 21/12/2004, 08h58

Envoyé par R is R

L'autre formule est également bonne, j'en est parlé a mon docteur en maths

Salut,

dans ta formule il y a ce symbole bizarre ( $\text{[math]}$ ) et tu fais tendre n (qui n'est pas dans la formule) vers l'infini... On y perd son latin

En même temps, je t'embête pour pas grand chose, on a tous compris ce que tu voulais dire...

Cordialement.

**Evil.Saien** · 21/12/2004, 09h00

on est tous d'accord que n! est une fonction croissante, mais $\text{[math]}$ ! = $\text{[math]}$ ... Pour quel n est-ce que n! commence à décroitre ?

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