sin x et développement limité

[inviteca9b3b96]

Bonsoir à tous !
aujourd'hui en td on a fait un exo d'analyse et le prof n a pas su nous montrer quelque chose, je m explique tout d'abord on demande de calculer le développement limité a l ordre 2 de la fonction sinus en 0. Jusqu a la sans problème! ensuite la question est : montrer que
le prof a retourné la question dans tous les sens avec le théoreme de Taylor Young Taylor Lagrange Rolle le théorème des accroissements finis et les DL sans résultats. Ca m intrigue pouvez vous m expliquer rapidement comment on fait Svp
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[invite57a1e779]

la question est : montrer que
le prof a retourné la question dans tous les sens avec le théoreme de Taylor Young Taylor Lagrange Rolle le théorème des accroissements finis et les DL sans résultats.

La formule de Taylor-Lagrange convient parfaitement :
avec .
Les dérivées successives de la fonction sinus sont aisées à majorer.

[invitec053041c]

On a aussi la fonction sinus qui est développable en série entière, donc :



La série de droite vérifie le critère des séries alternées, il est donc inférieur en valeur absolue à la valeur absolue de son premier terme , à savoir |x^3|/6.

Mais tout ça tourne en rond, on a plusieurs manières de le montrer.

EDIT: je viens de me rendre compte que le critère des séries alternées n'est pas vérifié dès le rang n=1 pour tout x... Mais que pour |x|< 35

Mince alors !

[inviteca9b3b96]

Mais on ne peut pas dire que sin (x) =< |x^3|/6

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca9b3b96]

Les dérivées successives de la fonction sinus sont aisées à majorer

Justement je ne comprends pas comment on fait pour majorer sin par une de ses dérivées

[invite57a1e779]

Mais on ne peut pas dire que sin (x) =< |x^3|/6

On a , mais pas ; il suffit de tracer les graphes des fonctions pour s'en apercevoir : les tangentes à l'origine sont mal placées...

[invite6f25a1fe]

La formule de Taylor-Lagrange convient parfaitement :
avec .
Les dérivées successives de la fonction sinus sont aisées à majorer.

Autant utiliser directement l'INEGALITE de Taylor-Lagrange dans ce cas là, comme ca les majorations sont déjà faites et on tombe directement sur le terme voulu !