Recherche de fonctions

[invite26c667e4]

Bon voilà en fait je suis au secondaire mais voilà je me prépare pour un olympiade de maths donc je me suis dit que cela serait plus approprié de poster ici:

Voilà la question est
Determinez les fonctions f:R->R
telles que pour tous reels x et y on a

(x+y)(f(x)-f(y))=f(x²)-f(y²)

Voilà en fait j'aimerais avoir l'ombre d'une idée ou une méthode pour ce genre de probléme car elle a été posée dans 3 des précédents olympiade.

Merci d'avance
-----

[obi76]

Le degré de x doit être le même à droite et à gauche.
donc deg(x f(x)) = deg(f(x²))
=> 1+deg(f(x)) = deg(f(x²))
En admettant que f(x) contient un degré a, on aurai 1+a = 2a => a=1.
f(x) est donc une fonction de degré 1, c'est donc une fonction affine de x
Par extrapolation, on peut affirmer que le développement limité de f(x) ne contient qu'un ordre 1, donc pas de cos, ni de sin ni de log etc.
f(x) = b*x + c

=> (x+y) (b*x+c-b*y-c) = b x² +c - b y² -c
c est donc quelconque et b aussi (il suffit de factoriser).

Bref, je suis pas matheux pour un sous mais je pense que l'ensemble des fonctions f(x) = b*x + c convient à l'exercice (et j'ai montré plus haut qu'il ne sagit que de ces fonctions là).

[invite57a1e779]

Le raisonnement ci-dessus est totalement aberrant :
– il suppose l'existence d'un développement limité, alors qu'aucune hypothèse n'est faite sur la fonction qui puisse la justifier ;
– il ne tient pas compte de la troncature des termes de plus haut degré dans le calcul du développement limité.

Il prouve par exemple qu'il n'existe aucune fonction de dans telle que, pour tout , : le terme de plus haut degré du développement limité du premier membre ne peut provenir d'aucun terme du développement limité du second membre... Exit l'exponentielle !!!

[obi76]

ouais tiens c'est vrai...

bon je retourne dans mon domaine

EDIT : pour la troncature je vois pas pourquoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

-Determinez les fonctions f:R->R
telles que pour tous reels x et y on a



Voilà en fait j'aimerais avoir l'ombre d'une idée ou une méthode pour ce genre de probléme car elle a été posée dans 3 des précédents olympiade.

Il n'y a pas vraiment de méthode pour aborder ce genre de problème, surtout si l'on a pas d'hypothèse sur la fonction, du genre continuité, dérivabilité...

La première chose à faire est de voir ce que donne la condition pour des valeurs simples de et de , par exemple 0,1,-1...
Parfois, on arrive à montrer que ou ... mais ici, cela ne donne pas grand chose.

Ensuite il faut contempler la relation sur pour repérer des particularités.
Ici, je vois (avec l'habitude) qu'il n'apparaît que des différences de valeurs de , comme dans une intégrale que l'on calcule par la formule .
Dans une intégrale, on utilise une primitive de la fonction à intégrer, et une primitive n'est définie qu'à l'addition d'une constante près... J'en déduis qu'ici c'est la même chose.

Je commence par montrer que, si est solution du problème, et si est un réel quelconque, la fonction est également solution du problème.
En particulier pour , on a une solution avec , et on peut reconstituer par .

Je cherche donc les solutions telles que .
On a donc, en écrivant la condition sur pour quelconque et : .

On peut donc réécrire le problème sous la forme :
Determinez les fonctions
telles que, pour tous reels et , on ait
.
En développant et simplifiant cette nouvelle condition sur , on peut plus facilement résoudre le problème.