Système de 5 équations linéaires à 2 inconnues

[invite99654af4]

Bonjour à tous. Je bloque un peu bêtement sur un système d'équations pour calculer une ration de taurillons (limousin pour ceux que ca interesse). Y'aurait-il des âmes généreuses pour me filer un coup de main ?

Voila le système d'équations :
UFV 7,73 = 0,81*2,9 + 1,01*MST + 1,11*MSB
PDIN 828 = 46*2,9 + 353*MST + 117,65*MSB
PDIE 828= 64*2,9 + 223,5*MST + 117,65*MSB
Ca 64,6 = 38,82*MST + 11,76*MSB
P 25,52 = 15,29*MST + 5,88*MSB

A titre d'info MS représente la quantité de matière sèche à mettre pour les 2 aliments T et B.

Merci d'avance !

Arnaud
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[invitea3eb043e]

C'est quoi au juste les inconnues ? J'en compte 7 mais tu dis 2.

[invite99654af4]

Ah toutes mes excuses c'est mal passé au copié/collé. En fait les 2 inconnues sont MST et MSB. Les inscriptions UFL, PDIN, PDIE, Ca et P sont juste les références des équations (plus facile à s'y retrouver que de les numéroter 1,2,3,4 et 5).

[invitef16d06a2]

idem je vois 7 inconnues. Dans le cas ou comme tu le dis dans ton titre "Système de 5 équations linéaires à 2 inconnues" tu n'as pas besoin de tes 5 équations pour faire le calcul seul 2 le permettent.
Si c'est bien 7 inconnues utilisent un logiciel de calcul scientifique pour la faire c'est hyper rapide (mathlab, maple, mathetica...). A la main sa prend un peu plus de temps le temps d'inverser ta matrice. Ou alors passer par le pivot de gauss.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb836950d]

Ton système est surdéterminé, il faut traiter par les moindres carrés pour trouver les meilleurs valeurs possibles de tes deux variables.
Enfin je pense ...

[inviteb836950d]

Ce qui fait quelque chose comme MST=0.395 et MSB=4.710

enfin si je ne suis pas trompé...

[invite99654af4]

En tout cas ton résultat est plausible philou, les quantités de matières sèches sont dans la normale. Tu pourrais expliciter un peu le détail de ton calcul (ou de ton programme matlab si tu l'as programmé) stp ? Je suis pas super doué en maths

Merci beaucoup de la rapidité de vos réponses à tous !

Arnaud

[invite57a1e779]

Ton système s'écrit matriciellement avec

; ;

La matrice est de rang 2, mais n'appartient pas à son image, et le système n'a pas de solution...
Il te faut donc déterminer une solution approchée, par exemple par méthode des moindres carrés.

[inviteb836950d]

En tout cas ton résultat est plausible philou, les quantités de matières sèches sont dans la normale. Tu pourrais expliciter un peu le détail de ton calcul (ou de ton programme matlab si tu l'as programmé) stp ? Je suis pas super doué en maths

Merci beaucoup de la rapidité de vos réponses à tous !

Arnaud

Non ça se fait avec un tableur sans problème.
Quel est ton niveau de math ?

[invite99654af4]

Je suis en 1ère année d'écolé d'ingénieur en agronomie, passé par un IUT avant. J'ai déjà pas mal utilisé la méthode des moindres carrés en stats mais bon ca commencer à remonter et j'en avais déjà à l'époque qu'une notion un peu floue (en gros je savais l'utiliser dans des cas précis mais j'aurais pas eu l'idée de l'appliquer ici).

Y'a une fonction excel pour les moindres carrés ? Je vais y jeter un oeil !

[inviteb836950d]

Je suis en 1ère année d'écolé d'ingénieur en agronomie, passé par un IUT avant. J'ai déjà pas mal utilisé la méthode des moindres carrés en stats mais bon ca commencer à remonter et j'en avais déjà à l'époque qu'une notion un peu floue (en gros je savais l'utiliser dans des cas précis mais j'aurais pas eu l'idée de l'appliquer ici).

Y'a une fonction excel pour les moindres carrés ? Je vais y jeter un oeil !

En gros tu réécris tes équations comme ça :



Le problème c'est que tu ne va trouver deux valeurs pour MST et MSB qui vont satisfaire les 5 équations

donc tu vas chercher les valeurs qui vont minimiser la somme des carrées des écarts :



et le minimum est trouvé pour



ce qui conduit au système :





Voila, ça te rappelle des choses ?

dans Excel il y a deux trois colonnes à écrire et une inversion de matrice à faire...

[invite99654af4]

Merci philou, ca commence à me revenir. Je vais tripatouiller excel aujourd'hui et je devrais m'en sortir.
Par contre je pense à un truc : la méthode des moindres carrés donne des valeurs "optimisées", c-a-d qui en moyenne sont les plus adaptées pour toutes les équations sans pour autant être exactes pour chaque équation non ? Du coup dans certaines équations l'apport sera inférieur aux besoins. Le problème étant que l'on parle ici de rations d'animaux qui doivent prendre 1,5kg de viande par jour donc il faudrait peut-être utiliser une méthode qui maximise les valeurs de MST et MSB afin qu'aucune d'elles ne soit limitante dans une équation (chaque équation représentant un apport alimentaire différent: énergie, azote, calcium, ...). En gros on prefère gacher de la nourriture en apportant plus que le nécessaire par rapport à certains besoins (énergie, azote, ...) plutôt que de ne pas apporter suffisamment pour certains autres besoins. Y'a-t-il une méthode plus adaptée que celle des moindres carrés qui permette de ne pas avoir de facteur limitant en dessous des besoins de l'animal ?
J'espère que c'est assez clair

Arnaud

Arnaud

[invite57a1e779]

Essaies tu de nous expliquer que tu voudrais en fait résoudre le système d'inéquations :

Il s'agit alors d'un problème d'optimisation linéaire.

[invite99654af4]

C'est exactement le cas God's breath ! C'est sous cette forme que j'avais écrit le système sur papier mais je l'avais mis sous forme d'égalités ici pour simplifier. C'était évident que la méthode de résolution serait différente j'aurais du y penser avant ! On va mettre ca sur le compte de la fatigue du vendredi soir

T'as une idée pour la résolution ?

(je viens de résoudre le système par la méthode des moindres carrés, je l'ai faite à la main finalement comme ca je me la suis remise en tête)

Arnaud

[b@z66]

Ca ressemble à un problème de recherche opérationelle, la méthode du simplexe serait peut-etre la mieux adaptée.

[invitea3eb043e]

Quand on écrit une équation du genre ax + by >= c ça peut s'interpréter comme dire que le point de coordonnées [x;y] est d'un certain côté de la droite ax + by - c = 0 (le côté dépend des signes de a et b).
Alors ton système peut se représenter graphiquement en traçant 5 droites et en regardant où peut se mettre le point dans la zone définie. L'avantage est qu'on peut optimiser à vue, des fois que ce soit impossible.

[invite99654af4]

On y a pensé en même temps Jean-Paul Je viens justement de tracer le graph les résultats sont à peu près les mêmes qu'avec la méthode des moindres carrés.

merci à tous pour votre aide, elle m'a été très précieuse.

[inviteb836950d]

On y a pensé en même temps Jean-Paul Je viens justement de tracer le graph les résultats sont à peu près les mêmes qu'avec la méthode des moindres carrés.

merci à tous pour votre aide, elle m'a été très précieuse.

Non, oublie les moindres carrés, ça n'a aucun sens dans la nouvelle problématique...

[invite99654af4]

Effectivement la méthode des moindres carrés ne semble pas très appropriée mais en pratique elle donne de très bons résultats, même meilleurs que par une résolution graphique. Je ne sais pas si elle pourrais être utilisée en d'autres circonstances mais avec ces chiffres là ca marche donc pas besoin d'aller chercher plus loin, l'important c'est que la ration soit équilibrée.