Problème de compréhension pour les vecteurs propres......

[invitef2a158f9]

Bonjour à tous !

Je suis confronté à un souci avec la matrice suivante :

             0                (1/2)*tan(gamma)
(1/2)*tan(gamma)                  0

Les valeurs propres sont:

+/- (1/2)*tan(gamma)

J'ai donc, dans la base principale la matrice:

(1/2)*tan(gamma)                  0
             0                -(1/2)*tan(gamma)

Première question: l'ordre des valeurs propres dans la matrice ci-dessus a-t-il une importance ?

Ensuite je calcule les vecteurs propres:
J'abouti au système pour la valeur propre positive:

(1/2)tan(gamma)*y=(1/2)tan(gamma)*x   => x=y et y=x
(1/2)tan(gamma)*x=(1/2)tan(gamma)*y

Donc premier vecteur propre [1,1]

Deuxième question: Vecteur de l'axe X ou Y ?

Pour la valeur propre négative:

(1/2)tan(gamma)*y=-(1/2)tan(gamma)*x   => x=-y et -y=x
(1/2)tan(gamma)*x=-(1/2)tan(gamma)*y

2 vecteurs propres possibles: [-1,1] ou [1,-1]

Bien évidemment, lors d'une représentation graphique, j'aurais un axe qui ne sera pas orienté dans le même sens selon que je prenne [-1,1] ou [1,-1], comment choisir la bonne base principale ? Il en existe plusieurs ?

Merci à tous !
RedVivi
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[invite57a1e779]

L'ordre des valeurs propres dans la matrice n'a aucune importance.

Par contre, il faut que tu ordonnes de la même façon les vecteurs propres dans ta base : le premier correspond à la première valeur propre, le second à la deuxième. Les choix doivent être ccohérents.

Le problème de l'orientation des axes n'a aucune importance tant que ton espace n'est pas orienté et que tu n'as pas de notion de base "directe" ou "indirecte".

[invitef2a158f9]

Celà signifie-t-il que si la matrice de départ est donnée dans un repère direct, je dois faire en sorte de retrouver un repère direct lors de la détermination du repère principal ?

Je n'ai pas bien saisi ta remarque concernant les vecteurs propres et les valeurs propres, c'était dans une optique de présentation de calcul ?

[invite57a1e779]

Celà signifie-t-il que si la matrice de départ est donnée dans un repère direct, je dois faire en sorte de retrouver un repère direct lors de la détermination du repère principal ?

Si on te demande explicitement une base directe de vecteurs propres, tu dois bien évidemment donner une base directe. Sinon, tu donnes n'importe quelle base de vecteurs propres...

Je n'ai pas bien saisi ta remarque concernant les vecteurs propres et les valeurs propres, c'était dans une optique de présentation de calcul ?

Si les éléments diagonaux de ta matrice sont , tu dois obligatoirement donner les vecteurs propres tels que, pour tout , soit associé à .

Tu n'as pas le droit de construire ta base avec associé à , associé à , associé à ..., en faisant n'importe quoi !!!

[A voir en vidéo sur Futura]