question sur les vecteurs propres

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Ma question est d'ordre général: pourquoi à une valeur propre d'une matrice associe t-on deux vecteurs propres plutôt qu'un et dans ce cas comment procède t-on pour les calculer?

Merci de me répondre cordialement le fouineur
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[invitebb921944]

pourquoi à une valeur propre d'une matrice associe t-on deux vecteurs propres plutôt qu'un et dans ce cas comment procède t-on pour les calculer?

Le nombre de vecteurs propres associés à une valeur propre est égal à la multiplicité de cette valeur propre (en tant que racine du polynôme caractéristique).
Si r est une valeur propre de multiplicité 2 par exemple, on résout
AX=rX
C'est à dire qu'on cherche X dans Ker(A-rI)
Si le système AX=rX le permet, on choisit au hasard deux vecteurs (vérifiant ce système) de manière à ce que l'ensemble des vecteurs propres de l'endomorphisme forme une famille libre.
Si on ne peut trouver qu'un vecteur propre satisfaisant cette condition, alors on cherche le second dans Ker[(A-aI)²].
Si elle est de degré 3, on peut remonter parfois jusqu'à Ker[(A-aI)^3] et ainsi de suite...
Voilaaaaaa

[le fouineur]

Bonjour Ganash et merci pour ta réponse,

J'ai compris que le nombre de vecteurs propres associés à une valeur propre dépendait de l'ordre de multiplicité de celle-ci....

Par contre je n'ai pas bien saisi ce que signifiait ker[(A-al)^2]

Que représentent a et l ? Quelle est la signification de Ker (noyau)?


Merci d'avance cordialement le fouineur

[invitebb921944]

a représentait la valeur propre en question.
Supposons que a est une valeur propre de multiplicité 2.
On cherche son vecteur propre X non nul vérifiant MX=aX (où M est la matrice associée à l'endomorphisme étudié)
Or MX=aX équivaut à
MX-aX=0 équivaut à
(M-aI)X=0 ou I désigne la matrice identité.
Or si X non nul vérifie (M-aI)X=0, c'est que X est non nul et appartient au noyau de M-aI, i.e. à Ker(M-aI)\{0}
Maintenant si on ne peut trouver qu'un seul vecteur propre satisfaisant dans Ker(M-aI), on résout maintenant (M-aI)²X=0 (j'aimerais que quelqu'un confirme ou infirme cela car j'avais quelque chose de ce genre dans mon cours mais je ne l'ai pas retrouvé...)
Rhaaa je me souviens plus...
En gros il faut appliquer la méthode pour trigonaliser quoi...

[A voir en vidéo sur Futura]

[le fouineur]

Merci Ganash pour ces précisions

cordialement le fouineur