Matrice inversion determinants

[inviteb15dc485]

Bonjour j'ai un problème pour un exercice sur les matrices:
( A B )
soit W= ( C D ) une matrice carrée de dimension 2n avec ABCD des matrices carrés de dimension n.
On effecture le produit

( A^-1 0 ) * W en supposant A inversible
( -C A )

on suppose de plus que AC = CA j'ai reussi à montrer que det ( W) = det (AD-CB) mais dans mon énoncé il faut trouver det(W)=det ( AD-BC), d'ou vient mon erreur?

Ensuite on suppose toujours que A et C commutent mais A n'est plus inversible, en remplaçant A^-1 par un matrice notée E on observe quand même
det ( W) = det (AD-CB)

Ensuite il m'est demandé si cette formule est vraie si A et C ne commutent pas... instinctivement je dirais non car on a plus de matrice triangulaire donc on ne peut pas utiliser le theoreme du determinant d'une matrice triangulaire décomposée en blocs... Et je dois trouver une hypothèse différente de AC=CA telle que cette formule soit vraie.
Pouvez-vous m'aider?
merci d'avanc epour l'aid eque vous pourrez m'apporter!
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[invite35452583]

j'ai reussi à montrer que det ( W) = det (AD-CB) mais dans mon énoncé il faut trouver det(W)=det ( AD-BC), d'ou vient mon erreur?

A mon avis l'erreur est dans l'énoncé car j'obtiens la même chose que toi.

Ensuite il m'est demandé si cette formule est vraie si A et C ne commutent pas... instinctivement je dirais non car on a plus de matrice triangulaire donc on ne peut pas utiliser le theoreme du determinant d'une matrice triangulaire décomposée en blocs...

Tu as raison et à mon avis en prenant des matrices contrevenant à AC=CA et BD=DB tu as d'énormes chances que cela soit un contre-exemple.

Et je dois trouver une hypothèse différente de AC=CA telle que cette formule soit vraie.

J'ai déjà répondu.

[inviteb15dc485]

D'accord j'ai compris merci beaucoup mais est ce qu'onpeut généraliser et dire que le determinant d'une matrice décomposée en bloc est égal à la formule du determinaan tmais en remplaçant els coeff par les determinanats de ces matrices ssi elles commutent avec els matrices sur la meme diagonale qu'elles?

[invite35452583]

Je ne sais pas. Le "seulement si" me parait néanmoins trop fort cela n'a pas été prouvé pour le cas à 4 blocs. Déjà il suffit d'une seule égalité AC=CA ou BD=DB.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

D'accord j'ai compris merci beaucoup mais est ce qu'onpeut généraliser et dire que le determinant d'une matrice décomposée en bloc est égal à la formule du determinaan tmais en remplaçant els coeff par les determinanats de ces matrices ssi elles commutent avec els matrices sur la meme diagonale qu'elles?

En vrai, on peut se passer de l'hypothèse A inversible, par densité des matrices inversibles dans Mn(K) et continuité de l'applcation déterminant (à paufiner..).

[inviteb15dc485]

En fait, pourriez vous m'expliquer pourquoi il faut que B et C commutent pour que le determinant vérifie cette formule? :s je n'ai pas tres bien compris comment on pourrait le justifier. Merci pour votre aide ^^