exp iz = 2 + v3

[invitead25e132]

Pouvez vous m'aider à résoudre exp iz = 2 + v3 , SVP ?

( v3 = racine de 3 )
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[invite4ef352d8]

Salut !

euh... ba tu as 2+v3=exp(ln(2+v3))

donc zi=ln(2+v3)+2ikPi

z=2*k*Pi-i.ln(2+v3)

ou k est un entier naturel quelconque.

[invitead25e132]

Salut !

euh... ba tu as 2+v3=exp(ln(2+v3))

donc zi=ln(2+v3)+2ikPi

z=2*k*Pi-i.ln(2+v3)

ou k est un entier naturel quelconque.

Salut Ksilver , Pourquoi zi = ln ( 2 + v3 ) + 2ik Pi ?
c'est " + i 2kPi " que je ne comprends pas . Merci.

[invite4ef352d8]

Et bien, parceque dans le plan complexe exp(a)=exp(b) c'est equivalent a dire que a=b+2ikPi

exp(a)=exp(b) donne, exp(a-b)=1, et on sais (plus ou moins par définition de Pi d'ailleur...) que exp(x)=1 est équivalent a x=2ikPi. pour k quelconque dans Z

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb36430b8]

Autre possiblité de résolution :

posons z = a+ib

on a alors exp( i *(a+ib) ) = 2+rac(3)

soit en développant : exp(-b) * exp(ia) = 2+rac(3)
exp(-b) [ cos(a) + i sin(a) ] = 2+rac(3)

la partie imaginaire du membre de gauche doit être nulle car 2+rac(3) est un réel. Comme exp(-b) ne peut etre nul, ca entraine que sin(a) est nul. Soit a = 0[Pi].

Cela entraine que cos(a) vaut 1 ou -1.
_Si a = 2.k.Pi, alors cos(a) vaut 1 et :

exp(-b) = 2+rac(3)
soit : b = - ln(2+rac(3))

_Si a = (2k+1).Pi, alors cos(a) vaut -1 et :

-exp(-b) = 2+rac(3)
ce qui est impossible

La solution est donc : z = 2.k.Pi - ln(2+rac(3)) i

Voilà, j'espère que c'est clair !

[invitead25e132]

Autre possiblité de résolution :

posons z = a+ib

on a alors exp( i *(a+ib) ) = 2+rac(3)

soit en développant : exp(-b) * exp(ia) = 2+rac(3)
exp(-b) [ cos(a) + i sin(a) ] = 2+rac(3)

la partie imaginaire du membre de gauche doit être nulle car 2+rac(3) est un réel. Comme exp(-b) ne peut etre nul, ca entraine que sin(a) est nul. Soit a = 0[Pi].

Cela entraine que cos(a) vaut 1 ou -1.
_Si a = 2.k.Pi, alors cos(a) vaut 1 et :

exp(-b) = 2+rac(3)
soit : b = - ln(2+rac(3))

_Si a = (2k+1).Pi, alors cos(a) vaut -1 et :

-exp(-b) = 2+rac(3)
ce qui est impossible

La solution est donc : z = 2.k.Pi - ln(2+rac(3)) i

Voilà, j'espère que c'est clair !

Merci Vulcain 14 , c'est parfait ( 20 / 20 ) !
Merci également à Ksilver.