Décomposition en éléments simples

[aNyFuTuRe-]

Salut a tous,

Lors d'une décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples, est-ce "rigoureux" d'utiliser une "identification" c'est à dire un petit système pour déterminer les constantes notés a,b,c... du numérateur? Ou faut-il préférer pour les déterminer de faire tendre la variable vers des valeurs bien choisis : bref, quelle est la méthode esthétique qui passe bien sur une copie ?


Merci d'avance

Cyaz
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[invite3482538a]

Bonsoir,

Tu as plusieurs 'grandes' méthodes pour décomposer en éléments simples.
La plus utilisées est celle-ci:

Tu as:

P1(X) = 1/[(X-c)(X-d)] par exemple

peut donc s'écrire P2(X) = a/(X-c) + b/(X-d)

• Tu prends X = a
  (X-c)*P1(x) = (X-c)*P2(X)
  = a + (X-c)*b/(X-d)
  
  1/(X-d) = a = 1/(a-d)
  
• Tu prends X = b
  (X-d)*P1(x) = (X-d)*P2(X)
  = (X-d)*a/(X-c) + b
  
  1/(X-c) = b = 1/(b-c)

Ca c'est la méthode la plus courante, la plus simple.

Après tu as des cas d'un niveau plus élevé, sans être toute fois vraiment très dur.

Notamment un fraction de fonctions polynômes.
Tu regardes dans un premier temps le degré le plus haut entre tes deux polynômes, si c'est le numérateur qu'il a c'est qu'il possède une partie entière, donc tu fais une division euclidienne de polynômes et le tour est joué; sinon tu entames ta décomposition directement.

A savoir aussi:

P(X) = 1/[(X-c)(X-d)²]

Tu décomposeras en P(X) = a/(X-c) + b/(X-d)² + c/(X-d)

Q(X) = 1/[(X-d)(X²-f)]

=> Q(X) = a/(X-d) + (bX+c)/(X-f)

Après selon les cas tu passes par les complexes, très pratique pour factoriser des polynômes qui n'ont pas de racines dans IR

Bref, si tu veux plus d'informations, demandes ^^

Cordialement,

HaaZ

[invite427a2582]

Slt





Edit : pas assez rapide : p

[Dismay_]

Slt





Edit : pas assez rapide : p

C'est tellement clair et limpide!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3482538a]

lol

Oui c'est limpide ^^
Ca résume la première méthode que j'ai exposée mais au cas général.
Par contre les (bi) n'appartiennent pas nécessairement aux Réels, tu peux très bien avoir des complexes aussi (si on concidère que tes (ai) peuvent être complexes).

[aNyFuTuRe-]

Pour la méthode on est tous d'accord mais c'était plutot sur la manière d'identifier justement les de Syraccuse_66 soit on fait tendre X vers une bonne valeur soit on met au même dénominateur et on identifie: ma question était laquelle passe le mieux ?

P.S: je suis intéressé par une explication sur la factorisation de polynôme en passant par les complexes lorsqu'il n'admettent pas racines dans

et Merci pour vos réponses

[invitec053041c]

Pour la méthode on est tous d'accord mais c'était plutot sur la manière d'identifier justement les de Syraccuse_66 soit on fait tendre X vers une bonne valeur soit on met au même dénominateur et on identifie: ma question était laquelle passe le mieux ?

P.S: je suis intéressé par une explication sur la factorisation de polynôme en passant par les complexes lorsqu'il n'admettent pas racines dans

et Merci pour vos réponses

L'identification ça va bien quand tu identifies 2 coeff (et encore), mais au delà ça passe assez mal...Surtout qu'il y a des méthodes bien plus rapides.

[aNyFuTuRe-]

Surtout qu'il y a des méthodes bien plus rapides.

Tu pourrais en donner les noms et/ou les principes généraux ?

Merci d'avance