primitive

[invitea50d6c78]

bonjour,
je n'arrive pas à trouver une primitive de f: x->ln(x)/(1+x²) afin de calculer l'integrale de cette fonction de 1 à x...
quelqu'un pourrait il m'aider?
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[erff]

Bonjour,

Tu es sûr qu'on peut exprimer cela avec des fonctions "usuelles" ?

J'ai lancé le calcul dans Maple et il me sort un truc en utilisant une fonction "dilog" et des nombres complexes.

[invitea50d6c78]

en fait j'ai F(x)=integrale (1 à x) ln(t)/(1+t²)dt pour x >0
je dois determiner le signe de F sur R+* et justifier sa conitnuité et sa derivabilité sur R+*....
Donc je pensait calculer la véritable valeur de F pour ca....
Tu vois une autre idée toi?

[erff]

OK

Pas besoin de calculer F(x) explicitement pour cela !!

Tout d'abord F s'exprime comme une primitive d'une fonction continue sur IR+* ce qui nous dit immédiatement que F est continue et dérivable sur IR+*

- Pour le signe :
Si x<1

Que dire de la fonction qu'on intègre (son signe)...que dire alors de son intégrale

Même question si x>=1...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea50d6c78]

si x<1 alors j'obtiens que f(x)<0 donc F(x) set négative
si x>ou= 1 j'obtiens que f(x) >=0 donc F(x) est positive
est ce correct ete st ce cela que tu voulais me dire?

[erff]

Voilà c'est exactement ça !

[invitec053041c]

si x<1 alors j'obtiens que f(x)<0 donc F(x) set négative
si x>ou= 1 j'obtiens que f(x) >=0 donc F(x) est positive
est ce correct ete st ce cela que tu voulais me dire?

Je ne suis pas d'accord avec ce que tu avances.

Si 0<x<1, tu as en effet f(t)= ln(t)/(1+t²)<0 pour tout t appartenant à [x,1].

Donc int(f(t), x à 1) =<0

Mais toi tu as int(f(t), 1 à x), qui est l'opposée de la précédente, donc positive...

Pour x>1, les bornes sont "dans le bon sens", donc ton raisonnement est bon.

[erff]

Citation:
Posté par magnatik Voir le message
si x<1 alors j'obtiens que f(x)<0 donc F(x) set négative
si x>ou= 1 j'obtiens que f(x) >=0 donc F(x) est positive
est ce correct ete st ce cela que tu voulais me dire?

Je ne suis pas d'accord avec ce que tu avances.

Oups, désolé d'avoir approuvé ça

...(j'espère qu'il reviendra pour voir l'erreur).

[invitea50d6c78]

je ne comprend pas très bien ton explication.. j'ai compris que dans les deux cas c'est positif mais pour quelle raison?

[erff]

En notant f la fonction qu'on intègre.

Si x>=1

Alors f est positive sur [1,x] donc son intégrale de 1 à x est positive

Si x<1
Alors f est négative sur [x,1] donc int(x à 1, f(t).dt) est négative, mais dans ton exo on calcule int(1 à x, f(t).dt) donc cette intégrale est positive (on intègre une fonction négative dans le "mauvais sens").

[invitea50d6c78]

d'accord merci et j'en deduit donc que la dérivée de F(x) est f(x).
Parcontre je dois ecrire le developement limité de fF(x) au voisinage de 1, et vu que F(x) est une integrale je vois pas du tout ce que ca peut donner...

[erff]

Il faut se souvenir qu'un développement limité s'intègre...Par exemple pour un DL en 0 :

alors

En gros, on primitive chaque terme ainsi que ce qu'il y a dans le o()

[invitea50d6c78]

d'accord... Et pour le DL₃(1) ln(x) equivaut au DL₃(0)ln(1+x)?
et idem pour 1+t²?
Merci à toi de m'aider...

[erff]

Ce que je fais toujours si on me demande par exemple un DL en 1, je pose t=1+u et je calcule un DL en 0 de f(u) plutôt qu'un DL en 0 1 de f(t) car ça permet d'utiliser les formules qu'on apprend par coeur en cours (qui sont toutes en 0). Y a qu'à la fin du DL que je remplace u par t-1