endomorphisme

[invitea210495a]

Bonjour,

Comment montrer qu'une application f est un endomorphisme???
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[invitea210495a]

f: A(x) -> A(x)+(1-x)A'(x)

Montrer que f est un endomorphisme de B

B: espace vectoriel des polynômes de degré < ou = à n.

f: B->B

[invitea210495a]

aidez moi svp!

[invitebb921944]

Bonjour.
Il faut que tu montres que si tu prends P, Q quelconques de B et un scalaire k dans ton corps (qui est R ici j'imagine), tu as :
f(P+Q)=f(P)+f(Q)
f(kP)=kf(P)
On peut vérifier directement f(P+kQ)=f(P)+kf(Q)
Il faut aussi montrer que le polynôme image par f est un polynôme de B, c'est-à-dire qu'il est de degré inférieur ou égal à n. (en supposant bien sur que le polynôme de départ est dans B, donc est de degré inférieur ou égal à n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea210495a]

D'accord, mais P et Q c'est quoi ici?

[invitebb921944]

Ce sont des éléments de B et puisque B est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, P et Q sont des ....

[invitea210495a]

f: A(x) -> A(x)+(1-x)A'(x)

ça veut dire quoi??
que f(X) est égal à quoi??

[invitebb921944]

Ca veut dire que si je prends un élément de B que je nomme A(x) (donc un polynôme de degré inférieur à n), son image par f est
A(x)+(1-x)A'(x)
On a donc f(A(x))=A(x)+(1-x)A'(x)

[invitea210495a]

Ce sont des éléments de B et puisque B est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, P et Q sont des ....

P et Q sont des polynômes, comme A.

[invitebb921944]

Oui mais de degré inférieur ou égal à n, c'est important de le préciser.
Pour montrer que l'image de ton application est dans B, il faut montrer que pour tout polynôme A(x) de B, A(x)+(1-x)A'(x) est dans B, c'est à dire A(x)+(1-x)A'(x) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.

[invitea210495a]

Je suis d'accord avec toi, mais comment??

Je ne veux pas que tu me donnes la réponse, mais juste que tu me mettes sur le droit chemin stp.

[invite3a7881fd]

Eh bien, tu prends un polynome P de B ,donc de degré n et tu étudies le terme de plus haut degré de f(B). Normalement, c'est assez facile à montrer.