Vecteurs propres et operations sur une matrice

[invitedbd9bdc3]

Bonjour,

je cherche a caracteriser les vecteurs prores d'une matrice. Pour des raisons de symetries, je voudrais connaitre les rapports entre les vecteurs propres d'une matrice et ceux de sa transpose, hermitique conjugue et inverse.

Par exemple, si j'ai M*u=k*u avec M ma matrice et k la valeur propre associee a u, est ce que cela peut aussi se reecrire u-1*M-1=k-1*u-1 (ou -1 signifie l'inverse). D'ailleurs, est-ce que u-1 a un sens? Si oui, comment le construire?
Sinon, connaissez-vous des pdf/sites ou je peux trouver ce genre de relations?

Merci.
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[invite57a1e779]

D'ailleurs, est-ce que u-1 a un sens? Si oui, comment le construire?

Hélas non, n'a pas de sens !!! Un vecteur n'est pas une application, et n'a pas de bijection réciproque...

Par contre, si la matrice est inversible, de tu peux déduire et par suite , en remarquant que l'inversibilité de impose la non nullité de .

[invite986312212]

si $L$ et $M$ sont des matrices avec des valeurs propres $\lambda$ et $\mu$ respectivement, on n'a pas en général $\lambda\mu$ valeur propre de $LM$ mais c'est vrai "en moyenne" (harmonique)

[invitedbd9bdc3]

Hélas non, n'a pas de sens !!! Un vecteur n'est pas une application, et n'a pas de bijection réciproque...

ouais, ca me paraissait bizarre

Pour la deuxieme relation, je la connaissais deja.
J'ai une matrice complexe M de dimension 2n.
En gros, je sais relier et (hermitique conjugue (h.c.)) grace a une transformation avec la matrice identite n.n, ou encore avec .
Tout ca me permet de trouver que si k est une valeur propres de M, k* en est une aussi et de meme pour 1/k et 1/k*. (* pour complexe conjugue et pour transpose)
J'ai reussi a montrer aussi que si u est un vecteur propre de M () alors en prenant l'h.c.
donc (car )
que je transpose

ce qui montre que si u est le vecteur propre associe a k, alors Ju* est le vecteur propre associe a k* (si il y a une erreur, dite le moi!!!)
Et maintenant je cherche une relation de ce type entre les vecteurs propres de valeur propre k et 1/k.

Et c'est donc pour sa que je cherche des relations generales entre les vecteurs propres de , et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

...
ce qui montre que si u est le vecteur propre associe a k, alors Ju* est le vecteur propre associe a k* (si il y a une erreur, dite le moi!!!)
Et maintenant je cherche une relation de ce type entre les vecteurs propres de valeur propre k et 1/k.

Et c'est donc pour sa que je cherche des relations generales entre les vecteurs propres de , et

Je ne vois pas pourquoi, si est valeur propre de , il en serait de même de ...
Qe penses-tu de ?

[invitedbd9bdc3]

Sauf que ma matrice M à moi a des propriétés particulières (voir mon message précédent).
Le raisonnement est :
donc si k est une valeur propre de M, s'en est une de M^H, or indépendamment de ça, si l est une valeur propre de M, l* en est une de M^H.
Donc k est une valeur propre de et k* aussi (car k en est une de M). Et donc si k est une valeur propre de M, k* en est une aussi.

Je peux faire le meme genre de raisonnement pour . Mais maintenant je veux prouver des choses sur mes vecteurs propres, vous auriez des propriétés intéressantes?
Par exemple, c'est quoi le lien entre les vecteurs propres droits et gauches, ou ce genre de truc.

Merci!

[invite57a1e779]

Je commence à comprendre.

La matrice n'est pas quelconque.
On a la relation .
Cela permet effectivement de démontrer que, si est valeur propre de , et est un vecteur propre associé, alors est également valeur propre et est un vecteur propre associé.

Quelle autre propriété a-t-on qui permet de dire que est également valeur propre de ?

[invitedbd9bdc3]

J'ai aussi M-1 relié à M^H par la matrice U donné dans un des message au dessus., le même raisonement donne le résultat que si k est valeur propre, 1/k aussi (et donc 1/k*).
Mais là ou j'ai un soucis c'est pour trouver les relations entre les vecteurs propres associé à 1/k et k. Car a un moment, il me faut utiliser les vecteurs propres gauches je pense, et je ne coannais rien sur eux...

[invitedbd9bdc3]

Un petit up...
Quelqu'un sait ou je pourrais trouver de la documentation sur les proprietes des vecteurs propres droits et gauches?