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rayon spectral d´une matrice nilpotente



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    rayon spectral d´une matrice nilpotente


    ------

    Bonjour,

    Je viens de lire que le rayons spectral d´une matrice nilpotente est nul. Donc je me demande si la réciproque est vraie: Si j´ai une matrice de rayons spectral nul, i.e toutes les valeurs propres sont nulles, est-ce cette matrice est nilpotente?

    Et comment le prouver?

    merci

    Christophe

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Bonjour,

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    Et comment le prouver?
    Le théorème de Cayley-Hamilton ?

  4. #3
    easythomas

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Ou, plus simple, la trigonalisation et l'unicité du polynôme caractéristique.

  5. #4
    Ksilver

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Cayley-Hamilton c'est pas plus simple que la trigonalisation ??

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Cayley-Hamilton c'est pas plus simple que la trigonalisation ??
    Ksilver,

    Il y a les normaliens... et les autres.

  8. #6
    christophe_de_Berlin

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Bon l´unicité du polynôme caractéristique je vois pas trop, mais avec Carley-Hamilton, je crois l´avoir:
    si toutes les valeurs propres sont nulles, alors, le polynôme caractéristique est:

    P(x) = (-1)n.xn,

    et P(A) = 0, donc An = 0

    C´est ça messieurs les normaliens?

    merci

    Tiens, encore une question de la part d´un français qui vit depuis 23 ans à l´étranger: c´est quoi un normalien?

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  10. #7
    Ledescat

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message


    Tiens, encore une question de la part d´un français qui vit depuis 23 ans à l´étranger: c´est quoi un normalien?
    Un étudiant de l'ENS (Ecole normale supérieure).
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    christophe_de_Berlin

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    c´est une école de maths? une fac? prépa?

  12. #9
    Ksilver

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Oui c'est exactement ca, sinon la solution proposé par easythomas est de trigonaliser A : comme toutes ces valeur propres sont nul, A est semblable à une matrice triangulaire supérieur à diagonal nul, et une telle matrice est nilpotente (on le vérifie par le calcul...). mais bon personnellement, je préfère Cayley-Hamilton, c'est plus simple.


    NB : l'ENS est une école ou l'on peu faire un peu de tous : une quinzaine de discipline une quinzaine de discipline aussi bien littéraire que scientifique y sont étudié et enseigné... (bien entendu chaque étudiant n'étudie qu'une ou deux disciplines). de l'intérieur ça fonctionne exactement comme une fac (d'ailleurs les diplômés préparé sont essentiellement ceux de la Fac L3,M1, agrégation, M2 doctorat), mais le recrutement ce fait sur concours dans les classes prépa. Historiquement, c'est une école destiné à préparer l'agrégation, mais aujourd'hui on y reçoit plutôt une formation à la recherche. c'est aussi une centre de recherche dans plusieurs discipline (enfin... comme une fac)
    Il y en a (essentiellement) 3 en france : Ulm (à paris, le berceaux historique et la plus réputé des trois) Lyon et Cachan.

  13. #10
    Ledescat

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    mais le recrutement ce fait sur concours dans les classes prépa. Historiquement, c'est une école destiné à préparer l'agrégation, mais aujourd'hui on y reçoit plutôt une formation à la recherche. c'est aussi une centre de recherche dans plusieurs discipline (enfin... comme une fac)
    Il y en a (essentiellement) 3 en france : Ulm (à paris, le berceaux historique et la plus réputé des trois) Lyon et Cachan.
    Et oui, et tu ne dois pas être sans savoir que le concours d'admission se déroule en ce moment, envoie-moi de bonnes ondes de là où tu es Ksilver .
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    God's Breath

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Et oui, et tu ne dois pas être sans savoir que le concours d'admission se déroule en ce moment, envoie-moi de bonnes ondes de là où tu es Ksilver .
    Tu peux compter sur mes bonnes ondes.

    Les hausdorffiens, ça inspire ?

  15. #12
    Ledescat

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Tu peux compter sur mes bonnes ondes.

    Les hausdorffiens, ça inspire ?
    Merci God's Breath !
    Ca m'a bien plus inspiré que le permanent des mines (faut que j'arrête d'en parler, je me fais du mal ..)
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Ksilver

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    lol, ouai j'tenvoi toutes les bonnes ondes que je peux


    d'ailleur on peut voir le sujet de math 1 quelque part, je l'ai pas trouvé sur internet ?

  18. #14
    easythomas

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Notez bien que plus simple ne veut pas dire plus court ; simplement, la trigonalisation utilise des outils bien moins sophistiqués que Cayley-Hamilton ; et c'est une question relativement simple ; un bon préparationnaire adapte toujours les moyens à la complexité de la question (enfin mon prof nous a enseigné les maths comme ça) : toujours proportionner la méthode à la difficulté de la question.
    Ici, ça va tout seul avec la trigonalisation donc...

    PS : je voudrais bien une éns cette année Mais bon j'ai pas trop entamé la partie V sur l'inégalité ; mais j'ai bien aimé les haussdorfien

    Ksilver -> va voir sur forum.prepas.org

  19. #15
    Ksilver

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    oui bien sur,mais entre la trigonalisation dans C et Cayley Hamilton, les deux sont indépendant (aucun des deux n'est utile pour prouver l'autre) et les preuves sont plus ou moins de même difficulté, donc c'était pas vraiment justifié de préférer l'un à l'autre... mais bon ta preuve est tous à fait correcte, est relativement simple tous de même, je pensais juste que c'était étrange que tu trouve la trigonalisation plus simple que Cayley Hamilton (un taupin étant en géneral terroriser à l'idée d'avoir à trigonaliser une matrice 3*3 ou 4*4 pendant un oral )

    Enfin bonne chance aussi pour les ENS ^^

  20. #16
    easythomas

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    les preuves sont plus ou moins de même difficulté
    T'exagères là La trigonalisation dans C se fait en 3 lignes par récurrence et produit par blocs, et se retrouve facilement ; Cayley-Hamilton, c'est déjà plus long, et moins évident a priori...

  21. #17
    God's Breath

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par easythomas Voir le message
    T'exagères là La trigonalisation dans C se fait en 3 lignes par récurrence et produit par blocs, et se retrouve facilement ; Cayley-Hamilton, c'est déjà plus long, et moins évident a priori...
    Cayley-Hamilton, ça se fait en 3 lignes par la méthode de Fadeev...

  22. #18
    mystic_snake [Théo]

    Re : rayon spectral d´une matrice nilpotente

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Merci God's Breath !
    Ca m'a bien plus inspiré que le permanent des mines (faut que j'arrête d'en parler, je me fais du mal ..)
    exactement pareil. Sans dire que j'ai réussi, le sujet (bien que faisant appel à de vilaines notions hors programmes sur les espaces hermitiens) était bien plus ouvert que celui des mines où si on ne saisissait pas tout du permanent et des 13 inégalités qui constituaient le sujet, l'épreuve paraissait bien plus longue.

    Citation Envoyé par God's Breath
    Tu peux compter sur mes bonnes ondes.
    Les hausdorffiens, ça inspire ?
    moi aussi je veux des bonnes ondes!
    Dernière modification par mystic_snake [Théo] ; 19/05/2008 à 23h59. Motif: orthographe

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