matrices normales

[invitee75a2d43]

bonjour,

Il y a un détail qui m´échappe dans un théorème sur les matrices normales:

- La définition est claire: A carrée est une matrice normale ssi A*.A = A.A*

- Et puis il y a ce théorème: L´ensemble des matrices diagonalisables dans une base orthonormée coincide avec l´ensemble des matrices normales.

Bon je veux bien mais ensuite comme explication ou disons même comme assertion équivalente, on a:

- Soit A carrée. La matrice est normale ssi il existe une matrice unitaire U telle que A = U.diag(l1,...ln).U^-1.

C´est ça qui m´intrigue: mon intuition me dit que c´est pas la même chose, car la base de départ B dans laquelle A est exprimée n´est pas sensée être forcément orthonormale, donc si elle ne l´est pas, après un changement de bases par une matrice orthogonale, la nouvelle bas B´dans laquelle A est transformée en une matrice diagonale n´est pas orthonormale non plus, non?

Alors de deux choses l´une: ou bien A peut être diagonalisé par un changement de base orthonormal (c´est le changement qui est orthogonal, pas la nouvelle base), ou bien elle peut l´être par une changement dans une base orthogonale.

Quelqu´un peut-il m´éclairer?

Merci d´avance

Christophe
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[invite57a1e779]

C´est ça qui m´intrigue: mon intuition me dit que c´est pas la même chose, car la base de départ B dans laquelle A est exprimée

Ce que tu dis n'a aucun sens mathématique : la matrice n'est exprimée dans aucune base, elle représente un endomorphisme dans une base, ce qui n'est pas la même chose.

Je reprends deux résultats importants :
Théorème 1 : Soient un espace hermitien de dimension finie et un endomorphisme normal () de ; il existe une base orthonormée de constituée de vecteurs propres de .

Théorème 2 : Soient un espace hermitien de dimension finie, une base de , un endomorphisme de , la matrice de dans la base .
Si la base est orthonormée, alors la matrice de dans cette base est .

Si l'on veut interpréter le théorème 1 en termes de matrices, le théorème 2 nous contraint à utiliser les endomorphismes représentés par ces matrices dans une base orthonormée, pour nous ramener à un endomorphisme normal, diagonalisable en base orthonormée, ce qui se traduit par une matrice diagonalisable avec matrice de passage unitaire.