Somme de produits de combinaisons de termes

[invited2b63fa9]

Un problème que je viens de rencontrer au détour d'un calcul de facteur de normalisation dans une estimation probabiliste maison. Ça m'étonnerait pas que ce soit un problème classique mais je manque de mots-clés pour le trouver sur le web.

J'ai un ensemble de valeurs .

J'ai les sommes de leurs puissances entières :

Je note , l'ensemble des combinaisons à p éléments d'indices allant de 1 à n ( évidemment).

Je cherche à obtenir la somme des produits des combinaisons des ainsi sélectionnés, .

Ma question est, peut-on exprimer en fonction des .

Je sais que c'est vrai pour 1, 2 et 3 au moins (, pas fini le calcul pour 3), mais il y a-t-il une formule générale ?

OG.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Un problème que je viens de rencontrer au détour d'un calcul de facteur de normalisation dans une estimation probabiliste maison. Ça m'étonnerait pas que ce soit un problème classique mais je manque de mots-clés pour le trouver sur le web.

Il faut chercher "polynômes de Newton".

Je reprends tes notations :

On a les relations fondamentales : , qui permettent le calcul de proche en proche des . Les premières relations sont :




et il faut reporter les valeurs trouvées dans les égalités suivantes pour avoir l'expression de en fonction des seulement.

[invited2b63fa9]

Impeccable, merci. En pratique la relation de recurrence mixant S et P correspond probablement mieux a mes besoins, elle a l'air plus stable numeriquement, et j'ai besoin de tous les S de toutes facons.

Merci beaucoup,
OG.