Arithmétique

[Médiat]

C'est tout bête :

En appliquant l'axiome 4 avec , on obtient .
En appliquant l'axiome 5 avec on obtient , et donc : (cqfd).
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[karlp]

C'est absolument magnifique

(vous féliciterez votre fils de ma part; j'ai lu ci avant qu'il n'a que 12 ans !!! et qu'il comprend ce que je peine à saisir, malgré mes nombreuses années d'études)

Encore mille mercis !

[Médiat]

Bonsoir,

Mon fils avait bien 12 ans quand nous avons parlé de cela, mais de là à lire ce document, il a encore du travail .

En fait la discussion est partie sur la notion de successeur (qu'il maîtrisait sans utiliser ce vocabulaire) et de sa conséquence : l'infini (qu'il entrevoyait sans savoir quoi en dire).

[karlp]

C'est tout bête :

En appliquant l'axiome 4 avec , on obtient .
En appliquant l'axiome 5 avec on obtient , et donc : (cqfd).

Bonsoir Médiat

Ma lenteur d'esprit va devenir proverbiale, mais je ne voudrait pas poursuivre sans m'être un peu assuré que je comprends correctement.

J'ai ici supposé
- que 0+0=0 venait instancier la sous formule phi(0) du schéma d'induction.
- que (0+s(x) = s(x)) correspondait à phi s(x)
- et (0+x = x) à phi (x)

J'ai supposé que 0+ s(x) = s(x) était déduit de l'axiome 5 avec x = 0 . (Dans cette hypothèse je me suis demandé s'il était "naturel" de poser immédiatement s(0 + x) = s(x) ? )

J'ai enfin supposé que ( 0 + x = x) pouvait être posé pour l'induction dans la mesure où si phi s(x) était démontré alors l'implication était valide indépendament de phi(x).

J'espère ne pas être "bon pour l'asile"

Bonne soirée

[Médiat]

- que 0+0=0 venait instancier la sous formule phi(0) du schéma d'induction.
- que (0+s(x) = s(x)) correspondait à phi s(x)
- et (0+x = x) à phi (x)

En posant , on trouve immédiatement que , et , donc oui.

Donc on doit démontrer

1)
c'est juste l'axiome 4 avec x = 0 (cqfd)

2)
(Axiome 5)
(s est une application)
donc (cqfd)

[karlp]

Ca y est j'ai compris !!! (dans deux minutes je ne comprendrais plus rien; mais d'ici demain ce sera digéré)
Je vais poursuivre et essayer de m'inspirer de ce mode de démonstration pour les exercices suivants.

Bonne journée (la mienne sera illuminée)

[karlp]

(s est une application)

Est-ce que cette formule s'appuie sur l'axiome A3 ?

(si c'est le cas, j'ai vraiment compris; sinon il faut que je revienne dessus ; j'ai demandé de l'aide à quelques mathématiciens mais ils se disent incapables de me répondre - ce qui me rassure un peu )

[Médiat]

Yaisse !!!!!!!!

Plus précisément sur l'implication de droite à gauche de l'axiome A₃, c'est à dire la partie qui est déjà garantie par le fait que s est une application (de l'univers dans lui-même).

[karlp]

1) Yaisse !!!!!!!!

2) Plus précisément sur l'implication de droite à gauche de l'axiome A₃, c'est à dire la partie qui est déjà garantie par le fait que s est une application (de l'univers dans lui-même).

1) Vous me l'enlevez de la bouche !!!

2) Je cherchais un mathématicien pour me le confirmer !!!

[karlp]

Bonjour Médiat

J'ai essayé de démontrer T3 (Presburger). Evidemment je soupçonne ma tentative d'erreur; mais c'est sans doute de la sorte (par essais et erreurs) que l'on apprend le mieux.

Par T1 et A4 , j'obtiens (0 + y = y +0).

Je pose :
- ( x + y = y + x)
- (s(x)+y = y + s(x))

Par l'axiome 3 : (x = x s(x)=s(x))
Et donc

Je vous souhaite une excellente journée.

[Médiat]

Bonjour,

C'est plus compliqué que cela

[karlp]

Je m'en doutais

J'ai beaucoup de mal à discerner ce qui est "légal" de ce qui ne l'est pas en matière de démonstration.
La difficulté vient en partie du fait que je raisonne en injectant une signification dans les formules et que je ne parviens pas encore à penser comme une machine de Turing.
Je vais réessayer.

[karlp]

Rien à faire!
J'ai essayé T2 et T3, je tourne en rond.
Est-ce que vous pourriez, sans me donner la solution, m'indiquer simplement les axiomes (ou schéma d'induction) nécessaires pour T2 ?

En vous remerciant.
Votre dévoué "cerf-volant"

[Médiat]

Bonjour,
est utile pour démontrer , il vaut donc mieux commencer par celui-ci.

donc

Par on obtient
Autrement dit, cette nouvelle formule qui reste à démontrer signifie que s(y) = 1 + y.
Or cette formule n'est ni un axiome ni un théorème.
Posons
donc
qui n'est que l'axiome
or par l'axiome

et par , c'est à dire (cqfd).
ceci démontre , il reste à démontrer que
Je vous laisse faire ?

[karlp]

Merci pour ces indications que j'aurai été absolument incapable de trouver par moi-même.


Je vais essayer de démontrer la suite (vous allez être tranquille pendant un petit moment )

Bonne soirée

[karlp]

Bonjour Médiat

Il y a un progrès: je comprends très bien la démonstration. Mais je vais devoir prendre le temps de bien l'étudier : la démarche n'est vraiment pas "évidente" pour moi. Je doute fort que je puisse démontrer la suite, mais je vais quand même essayer.
Bonne journée

[karlp]

Bonjour Médiat

Je ne vous étonnerai pas en vous disant que je tourne en rond.
Pour l'instant je reviens toujours sur l'Axiome 3 pour démontrer que s(x)

Je continue de chercher.
Cordialement

[karlp]

Bonjour Médiat

Voilà où j'en suis (c'est à dire plutôt "égaré")

(x) s(x) + y = s (x + y)

s (x) s(s(x)) + y = s(s(x) + y)


(x) s(x) + s(y) = s(x+ s(y))

Par A5, s(x) + s(y) = s(s(x) + y)

Et là je coince désespérément.
Pouvez vous me dire si je dois poursuivre dans cette direction, ou s'il faut que je reprenne complètement le raisonnement ?
Merci pour votre patience.

[Médiat]

Bonjour,

Je suis un peu pris par le temps en ce moment, mais je ne vous oublie pas ...

Là-dessus, je ne suis pas le seul à avoir le droit de répondre

[karlp]

Je vous en prie: prenez tout votre temps; j'en ai moi même bien peu et comprends très bien ce que signifie d'avoir des obligations. Par ailleurs, vu ma lenteur d'esprit, il est bien plus confortable pour moi que vous ne puissiez me répondre trop vite, me laissant ainsi la possibilité de poursuivre ma reflexion.
Amicalement.

[karlp]

Bonsoir Médiat,

Je crois que j'ai peut-être trouvé une piste.
Je vous soumets mon hypothèse:





Par A5 :

Par

CQFD ?

Bonne soirée

[Médiat]

Bonjour,

J'avoue ne pas comprendre cette ligne :

Par

Il me semble qu'une récurrence sur y devrait permettre de démontrer que .

pour y = 0 : trivial





donc (cqfd).

Bonne journée,

[karlp]

Bonjour,

J'avoue ne pas comprendre cette ligne :

Par


Bonne journée,

Bonjour Médiat

J'aurai été (très) étonné d'être parvenu à produire la démonstration voulue
En effet, je me demandais s'il est "légal" de passer de

A: à
A':

Pour ensuite déduire que
B: en substituant s(x) à x dans la formule A'

Pouvez vous me dire ce qui est incorrect: passer de A à A'
ou bien opérer cette substitution de s(x) à x dans la formule B
ou les deux ?

Je poursuis ma réflexion
Encore merci.

[Médiat]

Bonjour,

C'est la substitution qui est invalide :
Si on pose , substituer à , c'est affirmer que , or c'est justement ce qu'il faut démontrer.
Par contre dans , vous pouver substituer à , puisque cette formule est "vraie" pour toutes les valeurs de .

[karlp]

Je crois comprendre votre explication; j'avais d'ailleurs le sentiment que je présupposais ce qu'ils s'agissait de démontrer.
Il y a encore plusieurs règles que je n'ai pas intégrées.
Je vais revenir sur votre message 172 : j'avais produit la démonstration que vous y présentez, mais ne suis pas parvenu à partir de celle ci à démontrer que.
J'avance en "aveugle"
Merci pour votre aide.

[karlp]

Bonjour,

Il me semble qu'une récurrence sur y devrait permettre de démontrer que .

pour y = 0 : trivial





donc (cqfd).

Bonne journée,

Bonjour Médiat

Je suis complètement désespéré (pas au point d'en finir, rassurer vous )

Je peux suivre la démonstration ci dessus : mais je ne saisis pas du tout comment la démonstration de peut mener à la demonstration que

Ne vous sentez pas obligé de me donner l'explication: il est tout à fait vraisemblable que je ne sois tout simplement pas "à la hauteur" pour comprendre: après tout je suppose que vous avez étudié pendant plusieurs années avant d'en arriver à votre niveau. Il est sans doute plutôt prétentieux de ma part de croire que je peux me passer de ces années de maturation.
Je n'abandonne pourtant pas la lecture de votre remarquable document.
je vous soumettrai mes hypothèses si j'arrive à surmonter mon blocage.
Bonne journée

[Médiat]

Parce que la formule dépendante de y est vraie pour tout x, il n'est même pas utile de faire une récurrence sur x.

Je compte trouver quelques minutes ce week-end, pour reprendre à 0 (non, non, pas de jeu de mot ) dans un seul post la démonstration de T2.

[Médiat]

Bonjour,

Soit à démontrer : .

Je pose ; formule qui dépend de y donc.

(cf. axiome )



or par l'axiome



par



par l'axiome



Ce qui démontre bien que , et comme on a déjà démontré , l'axiome permet de conclure que , c'est à dire , et comme l'ordre des quantificateurs universels n'est pas signifiante : cqdf !

[karlp]

Bonjour Médiat

Merci pour cette démonstration que je vais étudier cette semaine
(il ne m'en faudra pas moins pour bien l'assimiler)

Je retrouve espoir et joie de vivre

[Turgon]

Bonjour.

Je reviens sur ce document dont j'avais lut le début il y a longtemps (souvenez-vous.)

Et ette fois j'irais jusqu'au bout !!!! (Tiens j'ai souvent dis ça devant un exercice sans que ça ne se vérifie...)

Je commence en proposant ma réponse pour le petit concours que vous proposez en page 7 ou 8:

"Tout sous-ensemble y de x vérifie p(x,y)"

c'est à peu près ça?

A suivre mes tentatives sur les exos...