ensemble de Julia : symétries

[Sylvain1981]

Bonjour,

j'aimerais savoir si le groupe de symétrie de l'ensemble de Julia rempli associé à z->z²+1/n est le groupe diédral d'ordre 2n ou non.
Merci d'avance.
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[G13]

Salut,

Pour n=5, voici l'ensemble de Julia associé à z->z^2+1/5.
Il ne semble pas avoir de symétrie d'ordre 5.

[Sylvain1981]

En effet. Il semble néanmoins que dans le cas où c est réel, le groupe de symétrie soit au moins égal au groupe de Klein. En fait ma question venait du fait que pour c=1/4, le groupe de symétrie semble être le diédral d'ordre 8 et pour c=0, on a le groupe de symétrie du cercle donc en quelque sorte le "diédral d'ordre infini". Y a-t-il des résultats généraux concernant le groupe de symétrie des ensembles de Julia remplis ?

[Sylvain1981]

Je pense savoir pourquoi on a au moins le groupe de Klein quand c est réel : qu'on prenne z ou -z on obtiendra la même valeur in fine quelle que soit la valeur de c (puisque z²=(-z)²). Donc on a au moins une symétrie centrale de centre l'origine. De plus si z est réel, on est ramené à l'équation l=l²+c d'inconnue l, dont les solutions sont complexes conjuguées, donc il y a symétrie par rapport à la droite Im(z)=0. Ces deux symétries engendrant le groupe de Klein, on a le résultat pressenti. Reste à identifier les réels c pour lesquels on a des symétries supplémentaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sylvain1981]

Je pense avoir trouvé. Soit T une isométrie de C dans C. Si l'équation z=z²+c admet une unique solution A et si l'équation T(z)=(T(z))²+c d'inconnue z admet une unique solution B et si B=T(A), alors T est une symétrie de l'ensemble de Julia rempli associé à z->z²+c. Si on prend T(z)=i*conjugué(z) avec c=1/4, on obtient A=1/2 et B=i/2=T(A). Donc T est symétrie de l'ensemble de Julia rempli associé à z->z²+1/4, et son groupe de symétrie est le diédral d'ordre 8.

[G13]

L'ensemble de Julia pour c=1/4 ne semble pas stable par les rotations d'un quart de tour.
En effet, sur l'axe Ox, les point extremites du Julia sont 1/2 et -1/2. Mais sur l'axe Oy, les point extremites sont les points (0,y) tels que donc ou donc ils ne sont pas les images de (1/2,0) par une rotation d'un quart de tour.
D'ailleurs, le tracé ci-joint de l'ensemble de Julia pour c=1/4 est plus long en hauteur qu'en largeur.

[Sylvain1981]

Donc mon raisonnement ne vaut rien ?

[G13]

A=1/2 est solution de z=z^2+1/4. Mais pas B=T(A)=i/2.

[Sylvain1981]

C'est exact. Mais j'aimerais tout de même savoir si mon approche est valable ou non...

[G13]

Pour que si un point A appartient à l'ensemble de Julia, alors T(A) aussi,
(où T(A) est une transformation continue du plan), il suffit que , pour tout z. Alors si la suite (avec u_0=A) reste bornée, la suite v_n= T(u_n) vérifie . Donc la suite v_n est associée au point T(u_0)=T(A) et comme (u_n) est bornée, T(u_n) aussi (l'image d'un compact est un compact), donc T(A) appartient à l'ensemble de Julia.

Si c est réel, T(z)=conjugué de (z) convient donc on a une symétrie par rapport à l'axe (Ox).

Si c est complexe quelconque, T(z)=z^2+c convient aussi donc l'ensemble de Julia est stable par z^2+c, c'est pourquoi il est fractal (en gros).

Bien sur la condition sur T est suffisante mais pas nécessaire ainsi T(z)=-z est aussi une symétrie d'un ensemble de Julia bien que elle ne vérifie pas la propriété T(z^2+c)=T(z)^2+c, pour tout z.

[Sylvain1981]

D'accord. Une chose amusante : 1/4 est la seule valeur de c pour laquelle l'équation z=z²+c admet une unique solution. Autrement dit 1/2 est l'unique point fixe de z->z²+1/4.
Un lien avec l'hypothèse de Riemann ?