Problème à l'exponentielle complexe...

[inviteeb11b24c]

Bonjour. Est-ce que quelqu'un pourrait bien m'expliquer pourquoi par exemple exp(5i)^3,1 n'est pas égal à exp(15,5i) ???????

Ca fait des jours que je cherche et je ne comprend pas. J'ai toutefois fait des observations et il semblerait que si exp(ai)^b = exp(abi) avec a et b réels alors soit b est un entier relatif (cas évident), soit a est compri entre ]-pi;pi] !!!!!

Je vous en supplie, j'en perds la boule, pourriez vous me donner une démonstration du cas où a appartient à ]-pi;pi] ? Sinon j'ai trouvé des formules barbares concernant exp(ai)^b, mais je ne peux les démontrer...

Merci bien...
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[inviteeb11b24c]

Pourrait-on aussi m'expliquer pourquoi plein de gens lisent ma question et que personne ne répond?^^ Ne serais-ce que pour me dire quelle est stupide, ça me ferait plaisir... Aller franchement, j'en dors presque plus, expliquez moi...

[Bleyblue]

Pourrait-on aussi m'expliquer pourquoi plein de gens lisent ma question et que personne ne répond?^^

Sans doute parce que personne ne sait y répondre jusqu'a présent.

Ce n'est pas du tout stupide comme question et je ne sais pas fournir de réponse précise, voici tout de même une piste :

Si tu prends et a et b deux complexes alors :

a^b = e^b.ln(a))

donc le logarithme intervient et le logarithme quand on joue sur c'est un peu une cochonnerie, comme faire ici par exemple :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

En particulier tu peux y lire :

On doit être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple, L(ez) n'est pas toujours égal à z, et L(zw) n'est pas toujours égal à L(z) + L(w).

Je pense que c'est dû à ça, même si je ne vois pas exactement pourquoi ...

[Médiat]

Pourrait-on aussi m'expliquer pourquoi plein de gens lisent ma question et que personne ne répond?^^

Je n'aime pas beaucoup ce genre de mise en demeure, qui, a minima, est très impolie envers des gens qui peuvent t'aider sans rien te demander en échange.

Pour le point évoqué, il suffit de savoir que. En prenant l'exemple que tu proposes, on peut écrire :
d'où
ou encore

On élève à la puissance 3,1

Maintenant j'applique (à tort) la relation habituelle à savoir , donc supposons que
qui est équivalent à
pour k un entier relatif, c'est à dire, après simplification 3.1 = k ce qui est rigoureusement impossible.

Il est facile de généraliser le cas précédent à une puissance entière et de montrer que cela marche sans problème.
Quant à dire que cela marche si , cela relève de la convention (qui assure de n'avoir qu'une seule valeur), (convention qu'à titre personnel j'ai du mal à cautionner), comme de dire que la racine d'un nombre positif dans est positif. D'ailleurs la racine pose le même problème :

J'élève à la puissance 1/2
d'où

qui est manifestement faux, il me semble

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pourrait-on aussi m'expliquer pourquoi Bleyblue t'a répondu il y a déjà plus de 8 heures (plus de 3 fois le temps entre tes deux messages) et que tu ne l'a pas encore remercié d'avoir passé du temps pour te rendre service !

[Seirios]

Donc l'expression n'est vraie que pour a et b réels ?

[Médiat]

Donc l'expression n'est vraie que pour a et b réels ?

Ou a complexe et b entier.

[Seirios]

Je ne le savais pas ça, merci Médiat

[inviteeb11b24c]

Pourrait-on aussi m'expliquer pourquoi Bleyblue t'a répondu il y a déjà plus de 8 heures (plus de 3 fois le temps entre tes deux messages) et que tu ne l'a pas encore remercié d'avoir passé du temps pour te rendre service !

Merci beaucoup à tous de m'avoir répondu. Pour ce qui est de toi Médiat, je suis désolé si je t'ai offensé, ce n'était pas mon intention. J'ajoute de plus que Bleyblue m'a répondu après ma deuxième question, étant parti je ne pouvais donc pas le remercier, ce que je fais maintenant (Merci Bleyblue !!!!)
Je vais étudier vos réponses, et encore merci à tous.^^

[Médiat]

.

Bien sur il fallait lire

[inviteeb11b24c]

Quant à dire que cela marche si , cela relève de la convention (qui assure de n'avoir qu'une seule valeur)

J'ai cherché sur le net et je n'ai trouvé nulle part une trace de cette convention... N'aurais tu pas un lien dessus? Merci d'avance.

[Bleyblue]

Merci Bleyblue !!!!)

De rien, d'autant plus que mon explication est légèrement à côté de la plaque

merci à Médiat pour les explications, mais quand tu fais le parallèle avec la racine, n'avons nous pas plutôt :



?

[Médiat]

n'avons nous pas plutôt :
?

Si bien sur, ce qui montre bien que l'application mécanique de la règle donne des résultats faux même sans avoir besoin d'aller chercher les nombres complexes.

[Médiat]

J'ai cherché sur le net et je n'ai trouvé nulle part une trace de cette convention... N'aurais tu pas un lien dessus? Merci d'avance.

Cette convention vient de ton premier message, j'ai même dit que je ne la cautionnais pas.

[inviteeb11b24c]

Cette convention vient de ton premier message, j'ai même dit que je ne la cautionnais pas.

...Mais alors...comment faire?...^^

[Médiat]

Sinon j'ai trouvé des formules barbares concernant exp(ai)^b, mais je ne peux les démontrer...

Quelles formules ?

[inviteeb11b24c]

Si bien sur, ce qui montre bien que l'application mécanique de la règle donne des résultats faux même sans avoir besoin d'aller chercher les nombres complexes.

Bien trouvé ça... c'est embêtant... en gros il faut être parano avec les puissances c'est ça?^^

[inviteeb11b24c]

Quelles formules ?

Tu les veux vraiment? Parce que je n'ai pas le Latex alors j'ai peur que cela ne devienne vite incompréhensible...

[Médiat]

Tu les veux vraiment? Parce que je n'ai pas le Latex alors j'ai peur que cela ne devienne vite incompréhensible...

Tout le monde a Latex, puisque le site FSG l'interprète ...

[inviteeb11b24c]

Je ne sais pas lutiliser désolé. Les veux tu?

[Médiat]

Donne, on verra bien

[inviteeb11b24c]

D'accord. Bon en fait je n'ai pas terminé de chercher, car en fait cela devient vite très compliqué. J'ai condensé le tout en une seule formule et le résultat suivant a l'air juste, mais pour le démontrer la je sèche:

Pour tout b réel, pour tout a appartenant à ]-3pi;-pi]U]pi;3pi]:
exp(ai)^b = exp(ib(a-sgn(a)*2pi) )

Où sgn x représente le signe de x. Pas mal comme formule bidon, non?

[Médiat]

le résultat suivant a l'air juste, mais pour le démontrer la je sèche:
Pour tout b réel, pour tout a appartenant à ]-3pi;-pi]U]pi;3pi]:
exp(ai)^b = exp(ib(a-sgn(a)*2pi) )
Où sgn x représente le signe de x. Pas mal comme formule bidon, non?

Je désaprouve totalement ce genre de formule, par exemple en choisissant qui est bien dans , et
on obtient
, pour moi c'est déjà très difficile de donner un sens à cet expression, puisqu'en fait elle exprime la racine carrée de -i, et qu'il y en a deux, mais faisons un effort, je choisis la plus naturelle (celle qui divise l'argument par 2) et j'obtiens .
L'autre membre donne , soit , pas de chance, l'autre racine !

La première chose à faire avant d'avancer des formules (je ne sais pas où tu les as trouvées, as-tu un lien ?) serait de donner une définition fiable de , pour b n'appartenant pas à (puisque dans ce cas, on sait faire).

[inviteeb11b24c]

Je désaprouve totalement ce genre de formule, par exemple en choisissant qui est bien dans , et
on obtient
, pour moi c'est déjà très difficile de donner un sens à cet expression, puisqu'en fait elle exprime la racine carrée de -i, et qu'il y en a deux, mais faisons un effort, je choisis la plus naturelle (celle qui divise l'argument par 2) et j'obtiens .
L'autre membre donne , soit , pas de chance, l'autre racine !

La première chose à faire avant d'avancer des formules (je ne sais pas où tu les as trouvées, as-tu un lien ?) serait de donner une définition fiable de , pour b n'appartenant pas à (puisque dans ce cas, on sait faire).

Ecoute cette formule sort directement des observation faitent sur ma calculatrice. Je ne peut pas la démontrer, certes elle me semble bizarre à moi aussi, mais en tout cas c'est ce que me dit la calculatrice susnommée. Elle me semble fiable, si tel n'est pas le cas alors je te serais reconnaissant de bien vouloir démontrer ses défaillences à ses constructeurs.
C'est une Texas TI 83+ , bonne chance.

P.S: Tes désaprobations m'ennuient...

[Médiat]

je te serais reconnaissant de bien vouloir démontrer ses défaillences à ses constructeurs.
C'est une Texas TI 83+

Dès qu'ils m'auront envoyé mon salaire, je m'en occupe.