implication

[invite31253240]

Bonjour,

Je me pose une question existentielle (enfin presque…) depuis quelques jours.

Pour monter que , on suppose p vrai, puis on montre que q est vrai. Ainsi d'après la table de vérité, on a bien la proposition "" qui est vraie.
Mais pourquoi ne pourrait-on pas supposer p faux (ou (non p) vrai) et d'après la table de vérité ce serait tout de suite terminé ! ??
Ainsi il devient évident de monter que "".

Voilà voilà si quelqu'un peut m'aider…
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[Médiat]

Mais pourquoi ne pourrait-on pas supposer p faux (ou (non p) vrai) et d'après la table de vérité ce serait tout de suite terminé ! ??

Parce qu'en général le but est de démonter que et que "supposer" que p est faux ne démontre pas que p soit faux, donc on a rien démontré, par contre si on suppose que p est vrai et que l'on peut, dans ce cas, démontrer que q est vrai, alors on a gagné puisque, justement, quand p est faux il n'y a rien à faire pour démontrer que , on a bien couvert tous les cas.

Pour ton exemple quelqu'un qui supposerait que est vrai devrait revoir la définition de l'égalité.

[invite31253240]

Ok, merci, je commence à comprendre.

Pour ton exemple quelqu'un qui supposerait que est vrai devrait revoir la définition de l'égalité.

On est bien d'accord est faux et justement comme c'est faux, d'après la table de valeur, quelque chose de faux implique tout ce qu'on veut…
Bref c'était juste un exemple.

Mais j'ai beaucoup plus grave !! Imaginons que je suppose p vrai et que je montre q vrai. D'après la table de valeur de , je vais également pouvoir dire que la proposition "" est vraie ! Or ce n'est pas forcément vrai…
Par exemple supposons "" est vrai. Il est évident que la proposition "" est également vraie. D'après la table de valeur, on en déduit donc que la proposition "" est vraie. Or il est évident que c'est faux car … Et pourtant la table de valeur dit que c'est vrai…

Merci de votre aide.

[invite31253240]

Dans le post précédent il faut remplacer "" par " est faux".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Pour monter que , on suppose p vrai, puis on montre que q est vrai. Ainsi d'après la table de vérité, on a bien la proposition "" qui est vraie.
Mais pourquoi ne pourrait-on pas supposer p faux (ou (non p) vrai) et d'après la table de vérité ce serait tout de suite terminé ! ??

Juste un petit rappel de logique :
Il n'y a pas équivalence entre et .
Tu ne peux donc pas démontrer ce que tu veux en partant de (non p)
Par contre, il y a une équivalence entre une proposition et sa contraposée :
est totalement équivalent à

[invite02e16773]

Bonsoir

C'est normal qu'il y ai une apparente contradiction avec la table. Tu es bien parti de mais tu es arrivé à de manière aberrante ! Tu as raisonné sur cette implication : (qui est juste). Sauf qu'au lieu de te contenter de tu as écris !! Pourquoi ?
Ecrire , ce n'est pas anodin ! Avant d'écrire ça, il faut bien vérifier si ET est vraie.
Dans ton exemple, "" est fausse, il n'y a donc pas d'équivalence, et il est formellement interdit de mettre une double flèche ! ^^

[invite02e16773]

Petite précision de grammaire.

c'est féminin, car c'est une proposition (ou bien une équivalence, ou bien une double implication, mais ça reste toujours féminin

[Médiat]

Mais j'ai beaucoup plus grave !! Imaginons que je suppose p vrai et que je montre q vrai. D'après la table de valeur de , je vais également pouvoir dire que la proposition "" est vraie ! Or ce n'est pas forcément vrai…

Si en supposant p vraie tu montres que q est vraie, alors tu démontres que "" est vraie, et c'est tout, je ne vois pas où se trouve la démonstration de "" ...

Si tu regardes la table de vérité de

 
p   q   
0   0     1
0   1     0
1   0     0
1   1     1

Si en supposant p vraie, tu montres que q est vraie, tu élimines la ligne 3, mais il reste la 2.

[invite31253240]

Avant toute chose, merci pour vos réponses instructives.

Je suis bien conscient que pour monter , il faut monter et . Cependant dans mon raisonnement je me base sur les tables de valeurs pour affirmer mes résultats. Résultats qui sont faux car je fais une erreur de raisonnement quelque part mais je ne sais pas où, et c'est pour cela que je fais appel à vos lumières.

Je vais donc réexpliquer mon raisonnement le plus clairement possible.

Imaginons que je suppose p vrai et que je montre q vrai.

D'après la table de valeur de , je vais pouvoir dire que la proposition "" est vraie. On est d'accord, je n'ai montré qu'une implication.
Mais la première ligne de la table de valeur de est la même que celle de , i.e.

p     q      

1     1       1          1

Or j'ai montré que si p est vraie, q aussi donc, dans le cas où p est effectivement vraie, "" est vraie d'après la table ci-dessus !

Est-ce que la partie du raisonnement que je viens de faire vous semble juste ?

[invité576543]

D'après la table de valeur de , je vais pouvoir dire que la proposition "" est vraie. On est d'accord, je n'ai montré qu'une implication.

Il me semble que ce qui est alors montré est uniquement les deux premières lignes de la table de vérité de l'implication. Après la démonstration, on a comme table

V V    V
V F    F
F V    ?
F F    ?

Ce qui n'est pas celle de l'implication à strictement parler.

Je pense que la difficulté rencontrée est là, qui est qu'on parle souvent de démontrer une implication même lorsqu'il y a incertitude sur une partie de la table de vérité.

Doit y avoir moyen d'exprimer cela en logique modale. En gros faudrait bien voir les relations entre



et









Ce qui est appelé "démonstration de l'implication" ne semble être que la démonstration de



ce qui est compatible aussi bien avec l'implication qu'avec l'équivalence, qui diffèrent par



Mais je ne suis pas sûr que ce soit les bonnes formulations, on corrigera si besoin est.

Cordialement,

PS: est-ce que ça n'a pas un rapport avec la différence entre A et non(non(A)) ?

[invite31253240]

Est-ce que ça n'a pas un rapport avec la différence entre A et non(non(A)) ?

Heuu, il n'y a pas un théorême qui dit que A est équivalent à non(non(A)) ??

[Médiat]

Or j'ai montré que si p est vraie, q aussi donc, dans le cas où p est effectivement vraie, "" est vraie d'après la table ci-dessus !

Oui, mais comme tu n'as pas démontré que p était vrai, tu n'as pas démontré l'équivalence !
Si tu démontres que p est vraie, et que est vraie, alors tu auras démontré que , mais tu auras aussi démontré (qui est plus fort).

[Médiat]

Heuu, il n'y a pas un théorême qui dit que A est équivalent à non(non(A)) ??

Pas en logique intuitioniste qui est le lieu privilégié pour la théorie de la preuve, à quoi Michel (mmy) fait allusion, je crois.

[Médiat]

Doit y avoir moyen d'exprimer cela en logique modale. En gros faudrait bien voir les relations entre [...]

Il y a quelques points que je ne comprends pas après cette phrase :

1. Je ne vois pas d'opérateurs modaux
2. Quelle est cette variable liée qui apparaît et qui semble essentielle ?

Cordialement

Médiat

[invité576543]

[LIST=1][*]Je ne vois pas d'opérateurs modaux

Faute (répétitive pour moi) de vocabulaire : je voulais dire "avec quantificateurs"

Quelle est cette variable liée qui apparaît et qui semble essentielle

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question.

Si c'est à propos du "x" qui apparaît, je pense que c'est essentiel parce que je le vois caché derrière le raisonnement de vibraphone, comme on peut le voir dans tous les exemples présentés dans ses messages.

Il me semble que c'est justement l'escamotage du "x" qui est à l'origine de la confusion.

Cordialement,

[Médiat]

Si c'est à propos du "x" qui apparaît, je pense que c'est essentiel parce que je le vois caché derrière le raisonnement de vibraphone, comme on peut le voir dans tous les exemples présentés dans ses messages.

Je comprends mieux ce que tu veux dire.

Ce qui est appelé "démonstration de l'implication" ne semble être que la démonstration de

En supposant que P et Q n'ont pas d'autres variables libres que x, si je baptise la formule précédente, qui ne dépend pas de x, puisque cette variable est liée, et si je baptise la formule et la formule alors on peut montrer que (j'ai juste appliqué les règles de base des quantificateurs et connecteurs), or aucune de ces formules ne possèdent de variable libre.

Il me semble que c'est justement l'escamotage du "x" qui est à l'origine de la confusion.

J'ai peur que la confusion de vibraphone ne soit plus profonde.

[invité576543]

alors on peut montrer que (j'ai juste appliqué les règles de base des quantificateurs et connecteurs), or aucune de ces formules ne possèdent de variable libre.

Il n'y a pas quelque part l'utilisation de l'équivalence entre A et non(non(A)) si on insère ces équivalences dans une preuve? (Je ne suis pas sûr, je cherche à comprendre.)

Cordialement,

[Médiat]

Il n'y a pas quelque part l'utilisation de l'équivalence entre A et non(non(A))

Si, très exactement j'ai utilisé que , mais je ne pense pas que nous soyons en logique intuitioniste.

Le problème initial, de vibraphone, est que, généralement, pour démontrer que , on suppose que p est vrai et on démontre q avec cette hypothèse, et il dit, si j'ai bien compris, tant qu'à faire une supposition, pourquoi ne pas supposer que p est faux, puisque dans ce cas il n'y a rien à démontrer. Alors que si on suppose p vrai pour faire la démonstration c'est parce que dans le cas p faux, il n'y a rien à faire, et la démonstration est bien faite quelque soit la valeur de vérité de p.

Cordialement

[invite31253240]

Hélas je ne puis vous suivre dans des considérations compliquées qui font appel à des notions qui me sont inconnues.

Le problème initial, de vibraphone, est que, généralement, pour démontrer que , on suppose que p est vrai et on démontre q avec cette hypothèse, et il dit, si j'ai bien compris, tant qu'à faire une supposition, pourquoi ne pas supposer que p est faux, puisque dans ce cas il n'y a rien à démontrer. Alors que si on suppose p vrai pour faire la démonstration c'est parce que dans le cas p faux, il n'y a rien à faire, et la démonstration est bien faite quelque soit la valeur de vérité de p.

En fait j'ai parfaitement compris ce point et c'est désormais très clair.

Cependant je me suis posé un deuxième problème qui est exposé en détail 10 messages plus haut (celui de 10h55).

[Médiat]

Cependant je me suis posé un deuxième problème qui est exposé en détail 10 messages plus haut (celui de 10h55).

Et je t'ai répondu à 11h40.

Pour démontrer que , il faut montrer :

(Tous les deux sont vrais)
ou
(Tous les deux sont faux)

Et si par hasard les valeurs de vérité de p et de q dépendent d'une variable, comme le suggère Michel (mmy), il faut qu'ils soient conjointement vrais ou conjointement faux pour chaque valeur possible de la variable.

La table de vérité de l'équivalence est bien
FF V
FV F
VF F
VV V

En disant "supposons" que p soit vrai, tu ne démontres pas que tous les deux sont vrais, tu démontres seulement que le cas (p vrai, q faux) ne peut pas arriver, mais tu n'as encore rien dit pour le cas (p faux, q vrai), qu'il est absolument nécessaire d'éliminer pour montrer l'équivalence ; tu peux montrer que (p faux, q vrai) est impossible, soit en montrant que , soit en montrant (et non en supposant) que p est vrai, et dans ce dernier cas tu auras en fait démontré que qui est plus fort que l'implication..

[invite31253240]

Désolé, j'avais pas vu ce message.
J'ai compris où était l'erreur, tu vas voir c'était vraiment ridicule !!
Oon reprend l'exemple de départ :

Soit 
p : ""
q : ""

Il est évident que , et plus encore que p est vraie !! J'ai donc réuni les conditions que tu as donné. Je peux donc dire que . Au début de la discussion on a dit que c'était faux, or…c'est bel et bien vrai !! En effet, x est défini tel que .
Bref j'ai compris mon erreur.

PS : Juste pour savoir, c'est quoi ??

[Médiat]

PS : Juste pour savoir, c'est quoi ??

(p et q), qui ne peut être vrai que si les deux sont vrais, donc qui est plus fort que (p équivalent à q), car dans cette dernière, les deux pourraient être faux.

[invite31253240]

Et je suppose que c'est "ou" ?

[Médiat]

Et je suppose que c'est "ou" ?

Oui

[invite31253240]

Et bien merci !