Polynome borné

[invite4b31cbd7]

Bonjour !

Bon je sais qu'un polynome disons de degré N ne peut pas etre borné sur tout les réels, mais pourtant quand N est infini, alors la c'est possible. (on n'a qu'a pensé a sin(x) ou encore exp(-x^2) )

J'aimerais savoir comment construire un poylynome de gros degré N qui est tres décroissant, dans le genre exp(-x^2), mais la contrainte supplémentaire (qui fait que je peux pas juste tronquer ma série de taylor de exp(-x^2)) c'est que j'ai déjà les les M premiers termes de mon polynome de fixé que je peux pas toucher.
Comment procéder ?
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[invite4b31cbd7]

Bon a vrai dire ma contrainte est un peu différente. Ma contrainte s'applique sur tout le polynome, j'ai deux équations que mon polynome doit satisfaire, mais sinon c'est tout, tout ce que je cherche c'est que quand N tant vers infini mon polynome soit bornée.
Est-ce qu'un simple interpolation est la meilleur solution ?

[Médiat]

Bon je sais qu'un polynome disons de degré N ne peut pas etre borné sur tout les réels, mais pourtant quand N est infini, alors la c'est possible. (on n'a qu'a pensé a sin(x) ou encore exp(-x^2) )

Est-ce toujours un polynome ?
Le problème vient de ce que dans une série entière tu as une limite, et que tu introduis une autre limite, opérations qui ne commutent pas, par exemple pour :



Calculer reviens à figer x, puis faire tendre n vers l'infini, puis faire tendre x vers l'infini (et on trouve 0, mais il n'y a plus de polynome), alors que dans l'autre ordre, cela ne marche plus : figer n, puis faire tendre x vers l'infini (là on a toujours un polynome), puis on ne peut plus rien faire puisque la limite précédente n'est pas convergente !

Est-ce qu'un simple interpolation est la meilleur solution ?

Pour faire quoi ? Je ne comprends pas le problème, peux-tu être un peu plus précis ...

[invite8d322e93]

Bonjour !

Bon je sais qu'un polynome disons de degré N ne peut pas etre borné sur tout les réels, mais pourtant quand N est infini, alors la c'est possible. (on n'a qu'a pensé a sin(x) ou encore exp(-x^2) )

J'aimerais savoir comment construire un poylynome de gros degré N qui est tres décroissant, dans le genre exp(-x^2), mais la contrainte supplémentaire (qui fait que je peux pas juste tronquer ma série de taylor de exp(-x^2)) c'est que j'ai déjà les les M premiers termes de mon polynome de fixé que je peux pas toucher.
Comment procéder ?

Bien sûr que non !
Un polynôme n'est jamais borné ! (En l'infini il est équivalent à son terme de plus haut degré, même s'il est divisé par 100! ça tend toujours vers +/- l'infini)

Et le degré d'un polynôme ne peut pas être infini, par définition du polynôme !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

Bon, mon probleme c'est que je cherche un polynome f(x) de degrée N tel que :

f(x) := sum ( a_i * x^i , i = 0 .. N ) :

1 : F(a_0, a_1, ... a_N ) = 0 ;
2: G(a_0, a_1, ... a_N ) = 0 ;

(ou les détails de F et G son connue, ce sont des équations linéaire bien facile a résoudre ...)

Et finalement une contrainte du genre :

3: f(A(N)) = epsilon (N)

tel que pour N qui tend vers l'infini, j'ai A (infini) = infini et epsilon (inifni) = 0.


Je sais que ma derniere contrainte est bizarre, mais bon j'aimerais bien que mon polynome soit en fait la troncature d'une série de taylor d'une fonction borné, peu importe laquelle, voila pourquoi j'aimerais satisfaire la troisieme contrainte.

Je me demandais si l'interpolation était la meilleur solution ; ce que je veux dire c'est que mon polynome contient N+1 constante inconnue, j'ai deux contrainte qui m'enleve deux inconnues, alors je pourrais essayer d'interpoler une fonction comme exp(-x^2) avec les N-1 coefficient qui me reste. Mais je suis loin d'être sur que c'est la solution optimale ... en fait même assez certain que c'est pas optimal et que ma contrainte no. 3 ne serait pas respecter dans ce cas.

[Garf]

Ce que tu veux, c'est que :

1) sur ;
et
2) Il existe de dans , telle que soit développable en série entière en 0 avec rayon de convergence infini (autrement dit, il existe une suite de réels tels que pour tout réel, converge quand k tend vers l'infini, et soit de limite ), de limite nulle en l'infini, et que pour tout i inférieur ou égal à n, .

C'est bien ça ?

Si c'est ça, je soupçonne que c'est vrai pour tout polynôme, en recherchant une fonction de la forme , où P est un polynôme...

[Médiat]

3: f(A(N)) = epsilon (N)
tel que pour N qui tend vers l'infini, j'ai A (infini) = infini et epsilon (inifni) = 0.

Tu n'en dis pas assez, parce que dans le cas général ce n'est pas possible :
Si A(N) = N, et que le polynome soit le développement en série entière de , alors qui ne converge pas (c'est le problème que je signalais dans mon premier post, les limites ne commutent pas).

[invite4b31cbd7]

Garf, c'est exactement ça. Et en y pensant je crois que tu a bien raison, en cherchant quelque chose comme P(x) * exp(-x^2) ça doit fonctionner.

Médiat : Oui je sais mais j'imagine que tu compred quand même ce que je veux dire. Je sais pas trop comment m'expliqué mieux, alors je vais expliquer le problème dans un contexte plus large :

J'ai un probleme tel que je dois fournir une fonction f(x/T) ou ;
1- |f| << 1 pour x > T
2- f~1 pour x < T.

Donc, dans le developpement de mon probleme c'est tres pratique de developper en serie de taylor autour de x=0. Cependant, je dois aussi appliquer des contraintes sur ma serie de taylor du genre :

3 : F(a_0, a_1, ... a_N ) = 0 ;
4: G(a_0, a_1, ... a_N ) = 0 ;

(ou les coefficient a_i corresponde en fait a la derive i_eme de f evaluer a x=0, diviser par i!)

Mais la en appliquant ces contraintes j'aimerais bien m'assurer que pour x>T ma fonction est encore convergente, borne. Bref, je veux surtout pas qu'en applicant les contraintes 3-4 je brise la contrainte 1-2.

Dans le cas ideal, N->infini, mais en pratique ca me semble pas possible.

Tu comprends tu ? Sinon n'hesite pas a demander des clarifications, car je sais bien que mon probleme est tres bizarre et je suis peut-etre passer a coter de quelque chose ...

Merci !!!

[Médiat]

Tu comprends tu ?

SI j'ai bien compris, en multipliant P(X) par une fonction du genre e^-x², tu vas changer les dérivée (1) à (N), et donc plus rien ne garantit que tes contraintes seront vérifiées.

[invite4b31cbd7]

Plus ou moins ... C'est a dire qu'il faudrait que je détermine le polynome P(x) en considérant l'ensemble f(x)=P(x)*exp(-x^2) pour etre certain que f(x) respecte le critere 3-4.

Mais la, en fait j'ai pensé a quelque chose de plus simple, quelque chose qui demande réflexion mais bon mettons que je fais à place :

f(x) = sum (a_i * g(x)_i , i= 0 .. N)

ou g(x)_i sont des fonctions bornées qui respectent les constraintes 1-2. En modifiant les coeffciants a_i je pourrais m'arranger pour respecter 3-4 et le tour est joué ! ?

Maintenant, comment choisir les functions g(x)_i ?