Convergence d'une probabilité

[invite5b777dc4]

Bonjour,

j'ai X1,X2,..... des v.a independantes non nécessairement identiqument distribuées, et pour tout i : E(Xi)=0 ; var(Xi)=s² et que la somme (i de 0 a n) si/n² --->0 quand n--->l'infini.

je veux prouver que pour tout a>0: P (| (X1+X2+.....Xn)/n | > a ) --->0 quand n ---> l'infini.

je sais pas si vous avez une idée, j'ai essayé avec l'inegalité de Chebychev vu qu'il y a la valeur absolue mais ca na pas vraiment marché, j'espere que vous n'hesiter pas si vous avez une piste , merci
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[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir,

tes hypothèses sont celles-là (une n'est pas vraiment lisible) ?
indépendantes, de même espérance (nulle), de même variance ()
et

tend vers 0 ?

ce qui se réécrit :
tend vers 0


Romain

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

j'ai X1,X2,..... des v.a independantes non nécessairement identiqument distribuées, et pour tout i : E(Xi)=0 ; var(Xi)=s² et que la somme (i de 0 a n) si/n² --->0 quand n--->l'infini.

je veux prouver que pour tout a>0: P (| (X1+X2+.....Xn)/n | > a ) --->0 quand n ---> l'infini.

je sais pas si vous avez une idée, j'ai essayé avec l'inegalité de Chebychev vu qu'il y a la valeur absolue mais ca na pas vraiment marché, j'espere que vous n'hesiter pas si vous avez une piste , merci

Je n'avais pas vu, mais en fait tu as posté deux fois le même message (ou presque) :
http://forums.futura-sciences.com/thread241273.html

Et dans celui-ci, tu écris :
(car cela n'a pas de sens de commencer la somme à 0 puisque les v.a. sont indicées à partir de 1)
ce qui laisse entendre que les n'ont pas forcément la même variance (notée )

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Re !

Bon, j'ai trouvé. L'idée de Tchebichev était pas bête, mais pas possible ici, car on n'a pas un majorant de toutes les variances.

Il faut utiliser l'inégalité de Markov.

Je pose
On veut montrer que :
tend vers 0 pour tout a

avec Markov, (1)

Maintenant, car les covariances sont nulles, vu que les v.a. sont indépendantes, et par hypothèse.

Or,
Avec :

Ainsi :

D'où : (avec (1))

et c'est fini !



Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Re !

Bon, j'ai trouvé. L'idée de Tchebichev était pas bête, mais pas possible ici, car on n'a pas un majorant de toutes les variances.

Il faut utiliser l'inégalité de Markov.

Je pose
On veut montrer que :
tend vers 0 pour tout a

avec Markov, (1)

Maintenant, car les covariances sont nulles, vu que les v.a. sont indépendantes, et par hypothèse.

Or,
Avec :

Ainsi :

D'où : (avec (1))

et c'est fini !



Romain

As-tu vraiment le droit d'écrire cela:

1. la somme des variances n'est pas égale à la somme des écarts types s_i qui sont les racines des variances.
2. ne tend pas forcément vers 0 avec l'hypothèse de l'énoncé, à savoir c'est somme de s_i/n² -> 0

Est-ce moi qui aurait mal compris ??

[inviteaeeb6d8b]

As-tu vraiment le droit d'écrire cela:

1. la somme des variances n'est pas égale à la somme des écarts types s_i qui sont les racines des variances.
2. ne tend pas forcément vers 0 avec l'hypothèse de l'énoncé, à savoir c'est somme de s_i/n² -> 0

Est-ce moi qui aurait mal compris ??

Bonjour,

non, tu as raison, on a effectivement que :
et donc on ne peut pas conclure...

mais ça serait bien que l'auteur du topic repasse par là pour confirmer les hypothèses (qui sont assez floues).


Romain

[invite5b777dc4]

salut,

je suis vraiment desolé de repondre seulement maintenant, enfait je me suis trompé car je ne sais pas taper les symboles mathematiques sur le clavier .

les hypotheses etaient : pour tout i : E(Xi) = 0 ; var(Xi)= s_i² et la somme ( i de 1 a n ) s_i²/n² tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

avec cela le raisonnement de romain est correcte merci bcp; en fait j'ai su le faire avec l'inegalité de Komolorov aussi avec les memes hypotheses on a : P ( max_0<=k<=n | X1+X2+....+Xk |> b ) <= var( X1+X2+...+Xn)/b² ce permet de conclure en posant a=b/n.

en fait on me demande aussi d'utiliser ce resultat pour prouver que si Y1,Y2,.... des v.a independantes de loi de bernoulli d'esperance E(Yi)= p_i alors pour tout a: P ( |( Y1+Y2+...+Yn /n ) - somme(de 1 a n ) p_i| > a)tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini,

le probleme c'est que les hypotheses sont differentes( pas d'esperance nul ) mais je dois utiliser le resultat precedent pour conclure ce dernier, vous savez m'aider svp. merci

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

je me doutais bien qu'il y avait une erreur Bon, le raisonnement marche.

Si tu n'as pas des v.a. d'espérance nulle, rien ne t'empêche de les centrer, tu poses :
alors
(1) l'espérance de est nulle
(2) la variance de est la même que celle de

De plus, si suit une loi de Bernoulli de paramètre alors

Il faut voir si la condition sur la somme est respectée.

Romain

[invite5b777dc4]

RE Bonjour,

si on suppose qu'on peut affirmer que la somme ( i de 1 a n) p_i(1-p_i)/n² tend vers 0 quand n tend vers l'infini, en utilisant le resultat precedent on obtient : P( |( Y1+Y2+...+Yn - somme Pi) / n |>a)-->0;
a votre avis c'est possible de passer a : P( | ((Y1+Y2+...+Yn)/n) - somme Pi | >a ) ---> 0 quand n-->l'infini ?
je sais pas trop si on peut faire ca ou il faut encore un passage de plus?

merci bcp romain.

[invite5b777dc4]

Bon je vais reposer la question pour tout le monde vu que c'est que c'est pas evident de tout lire des le debut avec les erreurs dans l'enoncé que j'ai fait, j'espere que vous me sauver :

j'ai un resultat qu'on su demontré : si X1,X2,..... des v.a independantes non nécessairement identiqument distribuées,et pour tout i : E(Xi) = 0 ; var(Xi)= si² et la somme ( i de 1 a n ) si²/n² tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Alors :

pour tout a>0: P (| (X1+X2+.....Xn)/n | > a ) --->0 quand n ---> l'infini.

Je dois utiliser ce resultat pour prouver que si : si Y1,Y2,.... des v.a independantes de loi de bernoulli d'esperance E(Yi)= pi alors pour tout a:
P ( |( Y1+Y2+...+Yn /n ) - somme(de 1 a n ) pi| > a)tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini,

si on pose : Yi' = Yi-pi je peux utiliser mon resultat precedent car les hypotheses sont satisfaites ce qui permet d'ecrire :

P( |( Y1+Y2+...+Yn - somme(1 a n) Pi) / n |>a)-->0 quand n-->l'infini

mais moi je veux monter que :

|( Y1+Y2+...+Yn )/n - somme(de 1 a n ) pi| > a)-->0 quand n-->l'infini

je suis bloqué la et j'espere que quelqu'un a une idée pour m'aider.

merci.