Expression du vecteur gradient dans un repère polaire

[invite4f80dcbf]

Bonjour,

En coordonnées cartésiennes, le vecteur gradient s'exprime :
{A}

En coordonnées polaires, nous avons :
{B}

Je ne parviens plus à démontrer {B} à partir de {A}... Pouvez-vous m'y aider ?

Merci beaucoup!
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[invite4f80dcbf]

http://www.edu.upmc.fr/physique/lice...s/gradient.pdf m'a aidé!

[invite4f80dcbf]

J'ai toujours ce problème (un peu ridicule, désolé)

Quand l’angle polaire varie de la quantité infinitésimale dθ, le point M se déplace le long de la direction uθ de r.dθ.uθ.

D'où sait-on qu'il se déplace de r.dθ.uθ ?



Merci

[invite343ed291]

et bien si tu integres entre et ca te donne , la circonference donc l'element infinitesimal represente un deplacement sur l'arc de cercle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Salut!

Réponse "à la physicienne": la longueur de l'arc sous-tendu par un angle est . Donc, la longueur infinitésimale sous-tendue par un angle infinitésimal est .

Pour plus de rigueur:

Un déplacement infinitésimal dans les coordonnées canoniques s'écrit évidemment:



On connaît les expressions de et en fonction de et :



Pour trouver les expressions pour et en fonction de et , on part des expressions du changement de coordonnées:



qui mène immédiatement à:



On remplace le tout dans l'expression de , et on trouve:

[invite4f80dcbf]

Merci beaucoup!