Démontrer une convergence en loi

[invite97a526b6]

Bonjour,

Je cale sur ces démonstrations:

X_n et Y_n deux suite de v.a.r.
X_n tend en loi vers la v.a. X
Y_n tend en loi vers 0

Démontrer:
1. X_nY_n tend en loi vers 0
2. X_n + Y_n tend en loi vers la v.a. X

Pour la question 1. je crois avoir démontré la convergence ps qui entraîne la convergence en loi (en majorant l'évènement {|X_nY_n| >e}, e>0 et en utilisant les fonctions de répartition)
Je cale sur le 2.
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[inviteaeeb6d8b]

Coucou !

(1) toi qui n'aime pas les notations abusives je trouve que tu en abuses un peu ici
, s'écrit plutôt
Bref, ta notation est quand même souvent utilisée, mais elle est impropre.


(2) Pour le premier point, je n'ai pas regardé.

(3) Pour le second point - je suppose l'indépendance des v.a. et pour tout n assez grand.
Je note la fonction caractéristique de la v.a. .

Je note la v.a. toujours nulle
Alors

Et
Donc : converge en loi vers

Reste à voir si elles ne sont pas indépendantes.

Romain

[invite97a526b6]

Coucou !

(1) toi qui n'aime pas les notations abusives je trouve que tu en abuses un peu ici

(3) Pour le second point - je suppose l'indépendance des v.a. et pour tout n assez grand.
Je note la fonction caractéristique de la v.a. .

tex]

Reste à voir si elles ne sont pas indépendantes.

Romain

Ces notations ne sont pas de moi, mais du prof qui est l'auteur du problème et je les trouve abusives quoique j'ai compris que cet abus allège considérablement l'écriture.

L'énoncé ne suppose aucunement l'indépendance.

Mais je regarde si ta démonstration peut se passer de cette hypothèse...

[inviteaeeb6d8b]

Ces notations ne sont pas de moi, mais du prof qui est l'auteur du problème et je les trouve abusives quoique j'ai compris que cet abus allège considérablement l'écriture.

Je te taquinais un peu

L'énoncé ne suppose aucunement l'indépendance.

Mais je regarde si ta démonstration peut se passer de cette hypothèse...

Malheureusement non Si on n'a pas indépendance, cela ne sert à rien de regarder les fonctions caractéristiques, tout simplement parce qu'on ne peut pas appliquer Fubini...

Je vais regarder de plus près.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Je te taquinais un peu


Malheureusement non Si on n'a pas indépendance, cela ne sert à rien de regarder les fonctions caractéristiques, tout simplement parce qu'on ne peut pas appliquer Fubini...

Je vais regarder de plus près.

Exact !

Une piste, peut être:
Soit e et M >0
J'ai {|X_n+Y_n| > e} = ({|X_n+Y_n| > e} inters {X_n <= M}) union ({|X_n+Y_n| > e} inters {X_n > M})
Le 1er ensemble du second membre est inclu {Y_n+M >e} et le second est inclu dans {|X_n| >M}
D'où une majoration de la probabilité du 1er membre...

[inviteaeeb6d8b]

Je te propose quelque chose de beaucoup plus général, et qui te résoud les deux cas d'un coup

Soit (v.a. à valeurs dans )

Soit continue

Alors

En effet :
Soit h continue bornée sur
Alors
Or est bornée sur
alors (puisqu'il y a convergence en loi)

et donc :

D'où le résultat.

Maintenant, tu utilises (un cas particulier du) théorème de Slutsky (mais je ne le prouve pas là) :

Si (v.a. réelles)
Et si (v.a. réelles)

alors le vecteur aléatoire de , converge en loi vers .

(j'ai dit cas particulier parce que c'est vrai en toute dimension (finie))

Puis, on termine en utilisant que :
(1) la convergence en proba implique la convergence en loi
(2) les fonctions produit et somme sont continues

et c'est fini !

Romain

[invite97a526b6]

Je te propose quelque chose de beaucoup plus général, et qui te résoud les deux cas d'un coup

Soit (v.a. à valeurs dans )

Soit continue

Alors

En effet :
Soit h continue bornée sur
Alors
Or est bornée sur
alors (puisqu'il y a convergence en loi)

et donc :

D'où le résultat.

Maintenant, tu utilises (un cas particulier du) théorème de Slutsky (mais je ne le prouve pas là) :

Si (v.a. réelles)
Et si (v.a. réelles)

alors le vecteur aléatoire de , converge en loi vers .

(j'ai dit cas particulier parce que c'est vrai en toute dimension (finie))

Puis, on termine en utilisant que :
(1) la convergence en proba implique la convergence en loi
(2) les fonctions produit et somme sont continues

et c'est fini !

Romain

Ta démonstration est correcte, mais tu utilises le théorème de Slutsky que je ne suis pas sensé connaître (il n'est pas dans mon cours) et tu utilises sans le dire un autre théorème (qui n'est pas dans mon cours non plus), à savoir :
- Il y a équivalence entre convergence en probabilité et convergence en loi si cette convergente se fait vers une constante.
C'est ce théorème qui permet d'affirmer, comme tu le fais, que l'hypothèse de l'énoncé, à savoir, la convergence en loi de Y vers la constante y implique la convergence en probabilité de Y vers y. Dans le cas général, il n'y a pas équivalence entre ces deux convergence, mais seulement implication :
convergence en probabilité ==> convergence en loi.

Je pense qu'il doit avoir une démonstration directe et simple qui n'utilise pas ces deux théorèmes. Cela dit ta démonstration me plait bien par sa généralité.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

je peux te donner la démonstration du théorème de Slutsky, si ça t'intéresse Mais ce sera un peu lourd (pour moi) à taper

Oui, tu as raison, il faut démontrer l'équivalence entre convergence en loi et convergence en proba si celle-ci se fait vers une constante.

On a déjà évidemment que la convergence en proba implique la convergence en loi.
J'ai une idée de preuve pour la réciproque :
pour tout élément de la tribu borélienne, tel que ne soit pas dans sa frontière, on a

En particulier, prenons (alors )
et alors , et c'est fini


Romain

PS : j'ai bien reçu ton MP, je te répondrai quand j'aurai un peu plus le temps

PPS : il existe sûrement une preuve directe...

[invite97a526b6]

Bonjour,

je peux te donner la démonstration du théorème de Slutsky, si ça t'intéresse Mais ce sera un peu lourd (pour moi) à taper

Oui, tu as raison, il faut démontrer l'équivalence entre convergence en loi et convergence en proba si celle-ci se fait vers une constante.

On a déjà évidemment que la convergence en proba implique la convergence en loi.
J'ai une idée de preuve pour la réciproque :
pour tout élément de la tribu borélienne, tel que ne soit pas dans sa frontière, on a

En particulier, prenons (alors )
et alors , et c'est fini


Romain

PS : j'ai bien reçu ton MP, je te répondrai quand j'aurai un peu plus le temps

PPS : il existe sûrement une preuve directe...

Je ne comprends pas bien tes notations...

Je cherche une preuve directe sans utiliser les théorèmes puissants que tu utilises (c'est efficace, mais c'est un peu un marteau pilon pour écraser une mouche) et ils ne font pas partie de mon cours...

[inviteaeeb6d8b]

Je ne comprends pas bien tes notations...

Je cherche une preuve directe sans utiliser les théorèmes puissants que tu utilises (c'est efficace, mais c'est un peu un marteau pilon pour écraser une mouche) et ils ne font pas partie de mon cours...

Dans mon message de 11h32, je prouve la réciproque de convergence en proba implique convergence en loi dans le cas où la limite est une constante.
J'imagine que les notations que tu ne comprends pas sont celles ci :
désigne la boule ouverte de centre x et de rayon r
désigne le complémentaire de A

J'ai bien compris que tu cherchais une preuve directe Je vais chercher aussi !


Romain

[invite97a526b6]

Bonjour,

je peux te donner la démonstration du théorème de Slutsky, si ça t'intéresse Mais ce sera un peu lourd (pour moi) à taper

Oui, tu as raison, il faut démontrer l'équivalence entre convergence en loi et convergence en proba si celle-ci se fait vers une constante.

On a déjà évidemment que la convergence en proba implique la convergence en loi.
J'ai une idée de preuve pour la réciproque :
pour tout élément de la tribu borélienne, tel que ne soit pas dans sa frontière, on a

En particulier, prenons (alors )
et alors , et c'est fini


Romain

PS : j'ai bien reçu ton MP, je te répondrai quand j'aurai un peu plus le temps

PPS : il existe sûrement une preuve directe...

Est-ce que ceci ultra simple est une preuve correcte ? :

Puisque Y_n converge en loi vers 0, alors
qqs e >0, il existe n₀ tel que n >n₀, |Y_n| < e.
La v.a. X_n + Y_n est donc bornée par les v.a. X_n + ou - e
Les v.a. X_n + ou - e covergent donc en loi vers les v.a. X + ou - e.
Je peux choisir e aussi petit que je veux, ce qui me permet de conclure que X_n + Y_n converge en loi vers X.

[invite97a526b6]

Est-ce que ceci ultra simple est une preuve correcte ? :

Puisque Y_n converge en loi vers 0, alors
qqs e >0, il existe n₀ tel que n >n₀, |Y_n| < e.La v.a. X_n + Y_n est donc bornée par les v.a. X_n + ou - e
Les v.a. X_n + ou - e covergent donc en loi vers les v.a. X + ou - e.
Je peux choisir e aussi petit que je veux, ce qui me permet de conclure que X_n + Y_n converge en loi vers X.

Il faut ajouter ps

[inviteaeeb6d8b]

Puisque Y_n converge en loi vers 0, alors
qqs e >0, il existe n₀ tel que n >n₀, |Y_n| < e.

euh... tu oublies l'aspect aléatoire de tout ceci Donc non, cette preuve n'est pas correcte.

J'ai trouvé quelque chose de pas mal, qui semble aboutir, mais il utilise le résultat suivant :
A_n converge en loi vers A
si et seulement si pour toute fonction h continue à support compact et positive, E(h(A_n)) tend vers E(h(A))
(c'est un résultat très important et classique de la convergence en loi)

mais il utilise aussi des résultats sur les fonctions continues à support compact, résultats qui sont très flous pour moi. Je vais ouvrir un autre fil pour qu'on m'explique un peu quelques éléments sur ces fonctions.


Romain

[inviteaeeb6d8b]

En ajoutant le ps, tu supposes que Y_n tend vers 0 presque sûrement, alors que tu n'as qu'une convergence en loi.

[invite97a526b6]

euh... tu oublies l'aspect aléatoire de tout ceci Donc non, cette preuve n'est pas correcte.

J'ai trouvé quelque chose de pas mal, qui semble aboutir, mais il utilise le résultat suivant :
A_n converge en loi vers A
si et seulement si pour toute fonction h continue à support compact et positive, E(h(A_n)) tend vers E(h(A))
(c'est un résultat très important et classique de la convergence en loi)

mais il utilise aussi des résultats sur les fonctions continues à support compact, résultats qui sont très flous pour moi. Je vais ouvrir un autre fil pour qu'on m'explique un peu quelques éléments sur ces fonctions.


Romain

Oui tu as raison même en ajoutant ps, j'outrepasse l'hypothèse se l'énoncé.

Tu peux remplacer sans problème "fonctions continues à support compact"
par "fonctions continues bornées" et alors le résultat que tu mentionnes est la df texto de la convergence en loi dans mon cours.
Donc tu peux utiliser ce résultat (qui est équivalent par df de la convergence en loi) pour ta démonstration.

[invitebb921944]

Bonjour,
pour ta première question, l'inégalité de Cauchy-Schwarz
et la définition que tu as citée de la convergence en loi devraient te permettre d'aboutir.

[invitebb921944]

En fait non... n'est pas bornée...

[inviteaeeb6d8b]

Tu peux remplacer sans problème "fonctions continues à support compact"
par "fonctions continues bornées" et alors le résultat que tu mentionnes est la df texto de la convergence en loi dans mon cours.
Donc tu peux utiliser ce résultat (qui est équivalent par df de la convergence en loi) pour ta démonstration.

La définition de la convergence en loi est avec les fonctions continues bornées, mais il y a aussi le résultat suivant :
X_n converge en loi vers X
si et seulement si pour toute fonction positive, continue, à support compact, E(h(X_n)) tend vers E(h(X))

Et c'est celui-ci que j'utilise dans ma preuve. Finalement, je m'y retrouve un peu avec les fonctions continues à support compact, mais c'est pas évident...

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,
pour ta première question, l'inégalité de Cauchy-Schwarz
et la définition que tu as citée de la convergence en loi devraient te permettre d'aboutir.

En fait non... n'est pas bornée...

Dommage, c'était une bonne idée...

[invite97a526b6]

La définition de la convergence en loi est avec les fonctions continues bornées, mais il y a aussi le résultat suivant :
X_n converge en loi vers X
si et seulement si pour toute fonction positive, continue, à support compact, E(h(X_n)) tend vers E(h(X))

Et c'est celui-ci que j'utilise dans ma preuve. Finalement, je m'y retrouve un peu avec les fonctions continues à support compact, mais c'est pas évident...

Romain

On a bien l'implication:
Continues à support compact ==> continues bornées et faut dans l'autre sens
Pour me rafraîchir la mémoire...

[inviteaeeb6d8b]

On a bien l'implication:
Continues à support compact ==> continues bornées et faut dans l'autre sens
Pour me rafraîchir la mémoire...

Oui, c'est ça Mais il n'empêche qu'on a l'équivalence :

- (i) pour toute h continue bornée, E(h(X_n)) tend vers E(h(X))

- (ii) pour toute h continue, positive, à support compact, E(h(X_n)) tend vers E(h(X))

(i) et (ii) sont équivalents.

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,
pour ta première question, l'inégalité de Cauchy-Schwarz

En plus, pour écrire cela, il faut supposer que X_n et Y_n sont de moments d'ordre 2 finis (ie dans )

Romain

[inviteaffd5918]

Bonjour.
J'ai regardé vite fait le fil de cette discussion, voilà une idée pour 2:
Si


Il s'agit de prouver

soit que


Le truc, c'est que (indicatrice) n'est pas continue bornée (ou continue à sup cpct, etc...)
On va alors approximer l'indicatrice par le dessus et par le dessous par des fonctions continues bornés.
(C'est pas dur, il suffit de faire un dessin pour voir comment).

Je note alors telles que

et

Alors


Comme sont continues borné, quand n tend vers l'infini, on a




il ne reste plus qu'à faire tendre k vers l'infini, les suites adjacentes s'occupent du reste.

Dans les premiers messages, j'ai lu que pour 1 tu as la convergence presque sure?
tu pourrait poster ta démo?

[invite97a526b6]

Bonjour,

Après étude, voici en pdf joint, la meilleure démonstration que j'ai trouvée (les questions portaient sur les N° (2) et (3)).

Bonne réception.

[invite19431173]

Pièce jointe validée, mais la prochaine fois, merci de la mettre au format jpg !

Pour la modération.