Bonjour,
je cherche à prouver que la suite définie par Un=(1+1/n)^n converge.
contraintes: - on ne connait pas l'exponentielle
Avec un developpement en série entiere de (1+x)^n, je pense m'en sortir. (considérer x=1/n ...) mais c'est un peu trop complexe. n'y a t il pas plus simple ?
merci
NB:
avec la méthode d'Euler on peut "voir" que cette suite converge. On notera d'ailleurs e sa limite, mais ce n'est pas une preuve (à moins de justifier pourquoi la méthode d'Euler converge mais là, c'est un autre probleme...)
Tu n'as pas le droit d'écrire
Et de trouver lim n.ln(1+1/n) par taux d'accroissement ?
non je ne veux pas utiliser la fonction exponentielle, l'objectif de l'exercice etant de montrer l'existence de cette fonction.
Sinon oui je ferais comme ça, apres j'utiliserais un équivalent de ln(1+x) en 0 et hop on aurait la limite...
Je rappelle que je cherche simplement à démontrer qu'elle converge, des fois que ça simplifie un peu.
je crois avoir trouvé en utilisant des suites adjacentes. je creuses l'idée et je confirme le probleme résolu
pour les curieux, voici une réponse (trouvée ds un livre de TS)
considérer deux suites:
Un=(1+1/n)^n et Vn=(1-1/n)^n
1. montrer que (Un) croissante et (Vn) décroissante (utiliser l'inégalité de Bernoulli)
2. Etablir qu'elles sont adjacentes
c'est pas tres détaillé, pr plus de détails voir le livre "Maths TS, Belin (radial), Ed 2006 " exo 127, chap 5
Telles quelles, ça m'étonnerait que ces suites soient adjacentesEnvoyé par bourbaki
pour les curieux, voici une réponse (trouvée ds un livre de TS)
considérer deux suites:
Un=(1+1/n)^n et Vn=(1-1/n)^n
1. montrer que (Un) croissante et (Vn) décroissante (utiliser l'inégalité de Bernoulli)
2. Etablir qu'elles sont adjacentes
c'est pas tres détaillé, pr plus de détails voir le livre "Maths TS, Belin (radial), Ed 2006 " exo 127, chap 5.. Any way
Il y a plus simple, si l'on sait qu'une suite monotone et bornée est convergente .
Pour la monotonie,équivaut à
Ensuite avec la formule du binôme:
Je n'ai pas encore vu les équivalences en cours, donc je ne suis pas sur que cela soit correct ( ne pas me blâmer ^^ limite m'expliquer pourquoi cela est incorrect )
On ne connait pas l'exponentielle, mais on connaît le log.
En +oo,
En faisant U(n+1) - U(n),
cela équivaut ( ?? )
En passant au log,
De ce fait la différences de deux termes consécutifs tend vers 0, c'est a dire que lim n-> +oo U(n+1) = lim n-> +oo U(n) = L.
Donc (Un) converge.
Non grosse erreur ... il se fait tard ... ^^' desolé !
Il y a qqchose qui m'échappe : si tu connais le logarithme, pourquoi ne pas faire log(Un)=nlog(1+1/n) et appliquer la formule classique pour trouver que cette limite vaut 1 ?
Peut-être une ruse : écrire que Log(u) = n Log (1+1/n)
Bon mais ensuite poser v = 1/n, faire tendre v vers zéro et tu verras que cela revient à montrer que le logarithme est dérivable en x=1.
N'est ce pas ce que j'avais suggéré ?
Peut-être mais qu'entendais-tu par "formule classique" ? J'en connais beaucoup. Il valait mieux ne pas passer par les développements limités.
formule classique = lim f(x)-f(a)/(x-a)=f'(a). Niveau Terminale
Effectivement. On peut même ajouter que la limite de Log(u) c'est la dérivée du logarithme en x=1, soit 1. Dès lors, la limite c'est le nombre e tel que Log(e) = 1.
On montre la convergence et on donne la limite dans la foulée.
Telles quelles, ça m'étonnerait que ces suites soient adjacentes
Il y a plus simple, si l'on sait qu'une suite monotone et bornée est convergente .
Pour la monotonie,
Ensuite avec la formule du binôme:
oui, il y a une coquille sur les Vn désolé. Il faut prendre
Un = (1 + 1/n)^n
Vn = (1 - 1/n)^(-n)
Désolé
NB: A tout le monde, non je ne veux pas non plus utiliser le Log pour résoudre cet exo, et ni la formule du Binome je suis compliqué ... n'empeche que ça marche comme ça
