démontrer la convergence d'une suite
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démontrer la convergence d'une suite



  1. #1
    invite2031b66f

    démontrer la convergence d'une suite


    ------

    Bonjour,

    je cherche à prouver que la suite définie par Un=(1+1/n)^n converge.

    contraintes: - on ne connait pas l'exponentielle

    Avec un developpement en série entiere de (1+x)^n, je pense m'en sortir. (considérer x=1/n ...) mais c'est un peu trop complexe. n'y a t il pas plus simple ?

    merci

    -----

  2. #2
    invite2031b66f

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    NB:
    avec la méthode d'Euler on peut "voir" que cette suite converge. On notera d'ailleurs e sa limite, mais ce n'est pas une preuve (à moins de justifier pourquoi la méthode d'Euler converge mais là, c'est un autre probleme...)

  3. #3
    invitec053041c

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Tu n'as pas le droit d'écrire

    Et de trouver lim n.ln(1+1/n) par taux d'accroissement ?

  4. #4
    invite2031b66f

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    non je ne veux pas utiliser la fonction exponentielle, l'objectif de l'exercice etant de montrer l'existence de cette fonction.
    Sinon oui je ferais comme ça, apres j'utiliserais un équivalent de ln(1+x) en 0 et hop on aurait la limite...


    Je rappelle que je cherche simplement à démontrer qu'elle converge, des fois que ça simplifie un peu.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite2031b66f

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    je crois avoir trouvé en utilisant des suites adjacentes. je creuses l'idée et je confirme le probleme résolu

  7. #6
    invite2031b66f

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    pour les curieux, voici une réponse (trouvée ds un livre de TS)

    considérer deux suites:
    Un=(1+1/n)^n et Vn=(1-1/n)^n

    1. montrer que (Un) croissante et (Vn) décroissante (utiliser l'inégalité de Bernoulli)
    2. Etablir qu'elles sont adjacentes

    c'est pas tres détaillé, pr plus de détails voir le livre "Maths TS, Belin (radial), Ed 2006 " exo 127, chap 5

  8. #7
    invite3240c37d

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Citation Envoyé par bourbaki Voir le message
    pour les curieux, voici une réponse (trouvée ds un livre de TS)

    considérer deux suites:
    Un=(1+1/n)^n et Vn=(1-1/n)^n

    1. montrer que (Un) croissante et (Vn) décroissante (utiliser l'inégalité de Bernoulli)
    2. Etablir qu'elles sont adjacentes

    c'est pas tres détaillé, pr plus de détails voir le livre "Maths TS, Belin (radial), Ed 2006 " exo 127, chap 5
    Telles quelles, ça m'étonnerait que ces suites soient adjacentes .. Any way
    Il y a plus simple, si l'on sait qu'une suite monotone et bornée est convergente .
    Pour la monotonie, équivaut à . En utilisant l'inusable on devrait y arriver ..

    Ensuite avec la formule du binôme: . On trouve un majorant , en observant par ex

  9. #8
    invite5c80e8b0

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Je n'ai pas encore vu les équivalences en cours, donc je ne suis pas sur que cela soit correct ( ne pas me blâmer ^^ limite m'expliquer pourquoi cela est incorrect )
    On ne connait pas l'exponentielle, mais on connaît le log.

    En +oo,


    En faisant U(n+1) - U(n),



    cela équivaut ( ?? )



    En passant au log, , en +oo, cela vaut log(1) = 0 ;
    De ce fait la différences de deux termes consécutifs tend vers 0, c'est a dire que lim n-> +oo U(n+1) = lim n-> +oo U(n) = L.
    Donc (Un) converge.

  10. #9
    invite5c80e8b0

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Non grosse erreur ... il se fait tard ... ^^' desolé !

  11. #10
    inviteaf1870ed

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Il y a qqchose qui m'échappe : si tu connais le logarithme, pourquoi ne pas faire log(Un)=nlog(1+1/n) et appliquer la formule classique pour trouver que cette limite vaut 1 ?

  12. #11
    invitea3eb043e

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Peut-être une ruse : écrire que Log(u) = n Log (1+1/n)
    Bon mais ensuite poser v = 1/n, faire tendre v vers zéro et tu verras que cela revient à montrer que le logarithme est dérivable en x=1.

  13. #12
    inviteaf1870ed

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Peut-être une ruse : écrire que Log(u) = n Log (1+1/n)
    Bon mais ensuite poser v = 1/n, faire tendre v vers zéro et tu verras que cela revient à montrer que le logarithme est dérivable en x=1.
    N'est ce pas ce que j'avais suggéré ?

  14. #13
    invitea3eb043e

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Peut-être mais qu'entendais-tu par "formule classique" ? J'en connais beaucoup. Il valait mieux ne pas passer par les développements limités.

  15. #14
    inviteaf1870ed

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    formule classique = lim f(x)-f(a)/(x-a)=f'(a). Niveau Terminale

  16. #15
    invitea3eb043e

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Effectivement. On peut même ajouter que la limite de Log(u) c'est la dérivée du logarithme en x=1, soit 1. Dès lors, la limite c'est le nombre e tel que Log(e) = 1.
    On montre la convergence et on donne la limite dans la foulée.

  17. #16
    invite2031b66f

    Re : démontrer la convergence d'une suite

    Citation Envoyé par MMu Voir le message
    Telles quelles, ça m'étonnerait que ces suites soient adjacentes .. Any way
    Il y a plus simple, si l'on sait qu'une suite monotone et bornée est convergente .
    Pour la monotonie, équivaut à . En utilisant l'inusable on devrait y arriver ..

    Ensuite avec la formule du binôme: . On trouve un majorant , en observant par ex

    oui, il y a une coquille sur les Vn désolé. Il faut prendre
    Un = (1 + 1/n)^n
    Vn = (1 - 1/n)^(-n)
    Désolé


    NB: A tout le monde, non je ne veux pas non plus utiliser le Log pour résoudre cet exo, et ni la formule du Binome je suis compliqué ... n'empeche que ça marche comme ça

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