Probleme de limite

[invitec9a9f4a6]

Bonjour, j'ai un petit soucis avec la limite du taux de variation. Je pose le problème...

On considère la fonction f définie, pour tout entier naturel n positif, sur [-1;1] par :
f (x) = sin( 2n arcsin(x) )

On doit étudier la dérivabilité de f en 1 à gauche et pareil pour -1 à droite.
J'ai essayé par de multiples méthodes de cacluler la limite du taux de variation mais je retombe toujours sur la même forme indéterminée... Toute aide est la bienvenue. Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

On considère la fonction f définie, pour tout entier naturel n positif, sur [-1;1] par :
f (x) = sin( 2n arcsin(x) )

On doit étudier la dérivabilité de f en 1 à gauche et pareil pour -1 à droite.
J'ai essayé par de multiples méthodes de cacluler la limite du taux de variation mais je retombe toujours sur la même forme indéterminée..

Pour l'étude en 1 à gauche, on pose et , d'où et lorsque tend vers 0.
Les conditions de signes montrent alors que, lorsque tend vers 1, on a , c'est-à-dire , ce qui permet de déterminer la limite du taux de variation de ...

[invitec9a9f4a6]

Merci beaucoup !

[invitec9a9f4a6]

Désolé pour ce nouveau post mais le délais pour modifier le précédent était expiré...
Je bloque à un autre endroit pour démontrer que pour tout réel a et pour tout entier naturel n supérieur à 0 on a :

sin(2na) = sin(a).cos(a).Pn(sin(a))

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

tu n'y arrives pas par récurrence ?

[invitec9a9f4a6]

Oui j'ai tenté la récurence mais je m'y suis vite perdu donc j'ai pas franchement approfondi.

J'ai trouvé une réponse en développant toute l'expression avec Moivre puis le Binome de Newton. Mais je pense m'être trompé dans les indices de mes sommes... Enfin la réponse ne me parait pas de trouver ce que je cherche dans la suite de l'exo ( donc a priori je me suis mangé sur cette question ).
Je maitrise mal les codes latex pour te proposer l'expression de Pn(x) que je trouve...

Si par récurence tu as trouvé ça plus simple je vais me lancer plus sérieusement dessus.

[invite57a1e779]

Bonjour,

La formule de Moivre fournit .

On obtient l'expression de en ne conservant que les valeurs impaires de , que l'on écrit sous la forme :
et par suite
et il suffit d'écrire pour obtenir la forme voulue

[invitec9a9f4a6]

Merci beaucoup !
J'ai enfin compris, je m'étais bien trompé dans mon indexation en passant de k à p.