Révision avant la spé : aide pour quelques petits exercices

[invited231abb3]

Bonjour à tous,
J'ai quelques exercices à faire avant la rentrée, je bloque sur certains :

* Calculer int (dx/(3+(cos x)²) entre 0 et Pi
J'ai esseyé de poser t=cos x soit x=arccos t pour faire apparaître quelque chose de la forme 1/(1+t²) mais après j'ai dx=-1/sqrt(1-t²)dt et j'arrive pas à intégrer. J'ai aussi esseyé de transformer le cos en sin. ça me donne 1/(4-(sin x)²) qui est d'ailleurs une identité remarquable mais ça ne m'avance pas tellement.

* Simplifier sin(3arccsin x)
Je me suis amusé avec la formule sin(a+b)=... mais je n'aboutit à rien.

* Donner un équivalent en 0 de (1 + sin x)^(1/x) qui est égal à exp((1/x)ln(1+sin x)).
Je sais que ln(1+sin x) est équivalent à sin x en 0 mais comme on a une composé, je ne peux pas dire que exp(sin x / x) est équivalent à exp((1/x)ln(1+sin x)). Là je ne sais plus quoi faire.

* Calculer lim(x->+oo) int(3t^5/(1+t^3)^3)dt) entre 0 et x.
Est-ce que quelqu'un a une méthode pour résoudre ça ?

Merci d'avance pour votre aide.
A+
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[taladris]

Salut!

* Simplifier sin(3arccsin x)
Je me suis amusé avec la formule sin(a+b)=... mais je n'aboutit à rien.

Tout d'abord, essaie d'écrire sin(3Y) en fonction de sin(Y) et cos(Y) uniquement. Ensuite, il faut (re)trouver ce que vaut cos(arcsin(x)).

* Donner un équivalent en 0 de (1 + sin x)^(1/x) qui est égal à exp((1/x)ln(1+sin x)).
Je sais que ln(1+sin x) est équivalent à sin x en 0 mais comme on a une composé, je ne peux pas dire que exp(sin x / x) est équivalent à exp((1/x)ln(1+sin x)). Là je ne sais plus quoi faire.

Passe par les DL, ce sera plus simple je pense.

Je n'ai pas regardé les autres questions
En espérant que cela t'aide.

[invited231abb3]

sin(3arcsin x) = 3x - 4x^3
c'est bon pour celui-ci

[invited231abb3]

Quelqu'un n'aurait pas une petite idée au moins pour la première intégrale : int (dx/(3+(cos x)²) entre 0 et Pi ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Les règles de bioche indiquent que c'est ici plutôt du côté de la tangente qu'il faut regarder...

[invited231abb3]

Pour calculer l'intégrale, j'ai posé t=tan (x/2) et j'obtiens :
int (dx/(3+(cos x)²) [entre 0 et Pi] = (1/2) * int ((1+t²) / (1+t²+t^4)) [entre 0 et +l'infini].

Mais je n'arrive pas non plus à calculer cette dernière.
Quelqu'un saurai t-il comment faire ?
Merci !

[invitec317278e]

Maintenant, on fait le changement de variable tan(x)=t
On a , d'où, en remplaçant tout ça dans l'intégrale :


Ce qui s'intègre aisément en arctan.