Petits exercices d'amusement

[invitea7fcfc37]

Bonjour,

Je poste sur ce fil quelques p'tits exos trouvés sur internet :

On a jeté de la peinture noire sur un sol blanc d'une pièce carrée de 2m sur 2m n'importe comment. Montrer qu'il existe deux points distants de 1m de la même couleur.

On considère le point central de la pièce, et le cercle de rayon 1m :
- ou bien il existe un point du cercle de la même couleur que le point central, auquel cas l'hypothèse est vraie.
- ou bien il n'y en a pas, il suffit alors de considérer une corde du cercle de 1m qui relie alors 2 points de même couleur.

Paris compte deux millions d'habitants. Un être humain a au plus 600 000 cheveux sur la tête. Combien de parisiens peut on trouver avec exactement le même nombre de cheveux sur la tête ?

Bon alors cet exo là je l'ai pas très bien compris, je dirais deux millions ... mais ça doit pas être ça ^^

So ?

Merci
-----

[invitea3eb043e]

Ton premier raisonnement me paraît juste.
Quant au second, il doit être question du nombre MINIMAL de Parisiens ayant le même nombre de cheveux.
Sinon, il pourrait arriver que les 2 millions aient tous 256 981 cheveux.
Imagine au pire que les 600 000 premiers en aient tous un nombre différent et continue..;

[pephy]

Bonjour,
On considère le point central de la pièce, et le cercle de rayon 1m :
- ou bien il existe un point du cercle de la même couleur que le point central, auquel cas l'hypothèse est vraie.
- ou bien il n'y en a pas, il suffit alors de considérer une corde du cercle de 1m qui relie alors 2 points de même couleur.

et si le cercle ne passe par aucun point ???

[invitea7fcfc37]

et si le cercle ne passe par aucun point ???

Comment ça ?

Quant au second, il doit être question du nombre MINIMAL de Parisiens ayant le même nombre de cheveux.
Sinon, il pourrait arriver que les 2 millions aient tous 256 981 cheveux.
Imagine au pire que les 600 000 premiers en aient tous un nombre différent et continue..

Okay, on utilise le principe des tiroirs, il y en a donc au moins 4 qui ont le même nombre de cheuveux ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec526837a]

- ou bien il n'y en a pas, il suffit alors de considérer une corde du cercle de 1m qui relie alors 2 points de même couleur.

Que quelqu'un me corrige si je me trompe, mais la seule "corde" d'1m qui relie deux points distincts d'un cercle de 2m est le rayon. Or si aucun point du cercle ne coïncide avec le point du centre du cercle, alors il n'existe aucune corde d'1m pouvant rejoindre deux points distincts quelconques d'un cercle de 2m.

Sinon pour la question des Parisiens, c'est bien le principe des tirroirs qu'il faut utiliser.

J'ai un autre problème si tu veux, conpatriote s'entraînant aux Olympiades :-p

Trouver x,y z entiers non nuls tels que :

x^3 + 2y^3 = 4z^3

[invitec526837a]

Ah non, après réflexions, je pense que je me suis trompé pour la corde. En effet, si on trace la perpendiculaire au diamètre passant par le centre, alors tout point de cette perpendiculaire est équidistant à ses 2 points opposés du cercle (à gauche et à droite = 1m)

[invitec526837a]

EDIT : Ah bah non, après avoir tracé la figure, je me rends compte que je me suis trompé, et que mon premier message reste encore valable

[invitec526837a]

EDIT 2 : (désolé, mais à chaque fois que je veux éditer mes messages, le temps imparti est expiré, désolé de mes post successifs ...)

Parcontre je suis allé trop vote, dans ma tête j'voyais deux points opposés ... Pour deux points opposés, il n'existe effectivement aucune autre corde que le rayon, mais il existe quand même une corde d'1m pouvant relier "deux points continus" ....

et si le cercle ne passe par aucun point ???

En effet, un cercle inscrit dans un carré n'occupe pas toute sa surface, il se peut que si le hasard fait mal les choses, les deux points de même couleurs soient dans les recoins inaccessibles du carré

[invitea7fcfc37]

Parcontre je suis allé trop vote, dans ma tête j'voyais deux points opposés ... Pour deux points opposés, il n'existe effectivement aucune autre corde que le rayon, mais il existe quand même une corde d'1m pouvant relier "deux points continus" ....

Le rayon n'est pas une corde
Si tout le cercle est constitué de points blancs, tu peux facilement trouver un segment d'une distance de 1m qui relie deux points

En effet, un cercle inscrit dans un carré n'occupe pas toute sa surface, il se peut que si le hasard fait mal les choses, les deux points de même couleurs soient dans les recoins inaccessibles du carré

Je comprends toujours pas votre remarque ..

[invite3d7be5ae]

Trouver x,y z entiers non nuls tels que :

x^3 + 2y^3 = 4z^3

Tu es sûr qu'il existe une solution?
x,y,z>100 et x,y,z<-100

Pole

[invitea3eb043e]

On peut supposer que les 3 nombres x, y et z sont premiers entre eux car si x, y et z forment une solution, 2x, 2y et 2z aussi.

x est visiblement pair puisque x^3 l'est. On pose x = 2 x' et on trouve que
4 x'^3 + y^3 = 2 z^3.
donc y est pair et on continue ainsi, z sera pair, etc... car l'équation se reconstitue sans arrêt. C'est donc impossible.

[invitec526837a]

JeanPaul > En effet, principe de la descente infinie

[invitec418c418]

Paris compte deux millions d'habitants. Un être humain a au plus 600 000 cheveux sur la tête. Combien de parisiens peut on trouver avec exactement le même nombre de cheveux sur la tête ?

Soient n = 2 000 000 et k = 600 000, alors d'après le principe des tirroirs, on a n/k = 2 000 000/600 000 = 3 (arrondi à l'unité), donc tu peux trouver au moins 3 parisiens avec le même nombre de cheveux sur la tête.

[invitec418c418]

Ai-je juste ?