Bonjour, j'ai un petit probleme sur cet exercice : Soit une fonction f de classe C1 sur R telle que f(0)=f(a)=0, f'(0)=0, avec f à valeurs positives et a>0 . En étudiant x->f(x)/x montrer qu'il existe un point du graphe de f d'abscisse appartenant à ]0,a[ ou la tangent passe par l'origine. Je ne vois pas comment, en étudiant cette fonction, on en arrive a prouver l'existence de ce point, pourriez vous m'éclairer? Merci d'avance
Indice : quand tu dérives cette fonction, le numérateur est censé te rappeler quelque chose.
f'(x).x - f(x) ça doit me faire penser à quelque chose ça??
oh que oui !
changeons un peu les lettre : f'(a)(x-a)+f(a)
oui ok équation de tangente...
mais je ne vois toujours pas?
Soit b le point de [0,a] tel que la tangente passe par l'origine. Quelle est l'équation de cette tangente ?
Soit g la fonction qui à x associe f(x)/x sur l'intervalle ]0 , a]
Cette fonction est positive, et on connait sa valeur en a.
On aimerait bien montrer que la dérivée de g s'annule en 1 point, et il se trouve que comme g est continue et dérivable (sur des intervalles qui vont bien), il est presque possible de lui appliquer le Théorème de Rolle, qui répondrait bien au problème posé !
Il reste à se placer dans les vraies conditions d'application du théorème, et le tour est joué.
J'espère que ça aide un peu ?
Oui rolle aiderait à montrer qu'il existe b appartenant à ]0,a[ tq f(b)/b = f'(b).
Il faudrait pour avoir les conditions de rolle avoir g continue sur [0,a].
Peut-on considérer un prolongement par continuité en 0?
Avec:
lim (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(0) = 0
x->0
Je pense que c'est ce qu'il faut faire, en effet ! Est-ce que tu voudrais nous poster une solution complète de ton problème, stp, pour que cela serve aux futurs visiteurs de cette page ?
