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Somme géométrique à démontrer



  1. #1
    ZimbAbwé

    Somme géométrique à démontrer

    Bonsoir,

    Je suis en prépa HEC et on vient d'avoir notre deuxième DL. J'y ai donc jeté un coup d'oeil et une question me tracasse. En effet, j'ai réussi le reste de l'exercice mais la 1ere question me parait étrange. Il faut montrer :

    Somme de k=0 à n de x^k = (1-X^n+1)/(1-X)

    Je connaissais ce résultat car c'est un résultat de cours mais je ne suis pas sûr de savoir le démontrer.
    Suffit-il de préciser que X est différent de 1 et alors appliquer le théorème sur la somme géométrique ?

    J'ai réfléchi et cette solution me parait la seule mais ce serait alors BEAUCOUP trop facile donc ça ne doit pas être ça.

    Voila, si vous pouviez juste m'éclairer sur la route à m'emprunter, je vous en serais reconnaissant.

    Merci.

    -----


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  3. #2
    ericcc

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Il n'y a pas de piège, c'est un résultat de cours

  4. #3
    erff

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Bonjour,

    Je note Sn ta somme à calculer

    L'astuce consiste à calculer :

    Il faudra remarquer que les termes de Qn "s'entretuent" (télescopage) sauf le premier et le dernier...

    Je ne t'en dis pas plus...

    Bon courage !

  5. #4
    Thorin

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Ou alors, par récurrence.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. #5
    ZimbAbwé

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Merci beaucoup !

    J'aurais du penser aux sommes télescopiques puisqu'on vient de les étudier en cours, c'est vrai.

    Merci pour l'astuce : j'ai bien calculé Qn, effectué un changement d'indice l =k+1 et tous les termes se sont télescopés sauf 0^k et X^n+1. Je comprends maintenant d'où vient cette propriété de cours, merci.

    Et j'ai également fait par récurrence, je suis bête de ne pas y avoir pensé...

    Merci à tous !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ZimbAbwé

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Re bonsoir,

    Je suis désolé de reposer encore une nouvelle question mais j'aimerais juste que vous m'aidiez à éclaircir un petit point. Je m'explique :

    Il faut démontrer que :

    Quelque soit a tel que 0 < a < 1, il existe k dans R et quelque soit n de N*,

    abs (x) =< a => abs( 1 / (1-x) - (1+x+x²+...+x^n) ) =< k * abs (x)^n+1

    Voilà ce que j'ai fait :

    abs ( 1 / ( 1-x ) - ( 1+x+x²+...+x^n ) ) =< k * abs ( x )^n+1 équivaut à
    abs ( ( x^n+1 ) / ( 1-x ) ) =< k * abs ( x )^n+1

    Ensuite,

    abs ( ( x^n+1 ) / ( 1-x ) ) =< k * abs ( x )^n+1 équivaut à
    ( ( x^n+1 ) / ( 1-x ) )² =< k² * ( x^n+1 )²

    On calcule la différence ( ( x^n+1 ) / ( 1-x ) )² - k² * ( x^n+1 )²
    On trouve après développement et factorisation :

    x^2n+2 * ( k²x²-2k²x+k²-1 ) / ( 1-x )²

    x^2n+2 et ( 1-x )² >0 donc on étudie le signe du polynôme.

    On trouve deux racines :

    x1 = ( k - 1 ) / ( k )
    x2 = ( k + 1 ) / ( k )

    Donc pour que k² * x^2n+2 - ( x^2n+2 ) / ( 1 - x )² soit > 0, il faut que :

    x => ( k+1 ) / k
    ou
    x=< ( k-1 ) / k

    Or abs ( x ) =< a donc -a =< x =< a

    Voila où ça bloque un peu : une question demande si k (que l'on choisit) dépend de n et/ou de a ?

    Je pense que k ne dépend pas de n et que k dépend de a.

    Mais je ne sais pas vraiment comment exprimer k en fonction de a, si ce n'est:

    -a =< ( k+1 ) / k
    et
    a => ( k-1 ) / k

    Mais je ne suis pas sûr de cette relation.

    Voilà, je vous serais reconnaissant si vous pouviez m'aider sur ce petit détail.

    Merci.

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  10. #7
    erff

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Bonjour,

    Tu devrais utiliser Latex pour mettre les formules car ça devient assez dur à digérer.
    Tu veux montrer que :



    Avec la formule précédente sur la somme géométrique, en notant Un l'expression dans la valeur absolue.


    Bref, il faut montrer que est plus petit qu'un réel ce qui prouvera l'existence de k...
    Ceci est évident car cette fonction est définie continue sur [-a,a] donc elle admet un maximum donc on note k ce maximum et c'est bouclé.

    - Si tu veux connaitre une expression de k, il te faudra "étudier" la fonction |1/(1-x)| sur [-a,a] et dire que k est forcément plus grand que le maximum de cette fonction...(il est clair que le maximum sera atteint pour x=a)...donc k ne dépend que de a...

  11. #8
    ZimbAbwé

    Re : Somme géométrique à démontrer

    Merci beaucoup erff !

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