Signe de thx-x

[inviteea5db5e2]

Bonsoir,

J'ai un problème pour étudier la postion relative de thx et de sa tangente en x=0...

La tangente à pour équation y=x donc j'étudie le signe de la différence :



Ce qui revient à résoudre :

étant donné que le dénominateur est toujours positif et non nul.

J'ai essayé de définir ceci comme une fonction auxiliaire et la dériver pour voir si elle serait pas monotone et si elle couperait pas x=0... mais avec les produits c'est pas bien beau :s

J'ai essayé pas mal de factorisations assez peu fructueuses aussi... Je vois pas comment m'en sortir et je pense pas qu'il y ait d'erreur jusque là (même si ça m'arrangerait bien parce que la solution serait pet être plus simple! ) Bref un indice serait le bienvenu !

Merci par avance pour votre aide.
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[invitec317278e]

On pourrait montrer, ce n'est qu'une suggestion, que

1-th(x)-x s'annule en 0
2-la dérivée de cette fonction est th(x)², donc positive partout, donc la fonction est croissante, donc, pour x positif, elle est positive, et pour x négatif, elle est négative.

Sauf erreur de ma part, bien sûr, car je ne suis pas sûr de la formule de la dérivée...

[invitec317278e]

en fait c'est l'inverse, la dérivée de th(x) est 1-th²(x), d'où que la dérivée de th(x)-x est -th²(x), et donc négative, etc...

[inviteea5db5e2]

En voilà une idée qu'elle est bonne ! Merci beaucoup Thorin ! Et béni soit futura science !

[A voir en vidéo sur Futura]