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Série harmonique et intégrales.



  1. #1
    neokiller007

    Série harmonique et intégrales.


    ------

    Salut,
    On a restreinte à l'intervalle
    J'ai démontré que pour k, un entier naturel non nul, et pour t décrivant le segment [k , k+1] on a:


    Et de même, pour k un entier naturel 2, et pour t décrivant le segment [k-1 , k] on a:


    Pour n un entier naturel non nul, on note

    Je dois montrer que:

    Et j'avoue que je sèche complètement....

    Une petite piste ?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Il suffit, pour encadrer , d'utiliser l'encadrement de obtenu précédemment avec les intégrales.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    neokiller007

    Re : Série harmonique et intégrales.

    C'est ce que je me suis dit mais je tombe sur:


    Je vois pas trop comment je peux m'en sortir.

  5. #4
    Thorin

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    C'est ce que je me suis dit mais je tombe sur:

    Certes, mais encore faut-il chercher à avoir Sn.
    Pour cela, il faut sommer les , ce qui nous pousse naturellement à sommer ton inégalité, pour k variant de 1 à n.


    Si on somme tout ça, en se servant des propriétés du logarithme, on a...
    Dernière modification par Thorin ; 20/09/2008 à 21h09.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    C'est ce que je me suis dit mais je tombe sur:


    Je vois pas trop comment je peux m'en sortir.
    Il faut conserver les intégrales dans l'encadrement : la somme des intégrales est immédiate à calculer...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #6
    neokiller007

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Je comprend pas, ça veut dire quelque chose de sommer des inégalités ?
    Il faut pas faire:

    ?

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  10. #7
    Hamb

    Re : Série harmonique et intégrales.

    tu as une inégalité poru chaque terme de la somme des 1/k, donc en sommant membre à membre les inégalités tu obtiendras un encadrement de ta somme.

  11. #8
    God's Breath

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Je comprend pas, ça veut dire quelque chose de sommer des inégalités ?
    Tu as, pour tout entier , , donc en additionnant les égalités obtenues en faisant varier de 1 à , tu obtiens :

    et tu peux regrouper ta somme d'intégrales en une seule intégrale, il suffit de bien voir comment se raccordent les intervalles d'intégration...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    neokiller007

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Ah ouais d'accord le sigma peut être utilisé comme un opérateur.
    Donc ça ne donnerait
    Et on voit bien là le problème c'est qu'il faut commencer à k=2 ce qui ne nous arrange pas...

  13. #10
    God's Breath

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Oui, la majoration par l'intégrale n'a pas lieu pour , donc l'encadrement de devra en tenir compte : c'est pour cela qu'il est dissymétrique.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #11
    neokiller007

    Re : Série harmonique et intégrales.

    J'arrive bien au 1+ln n mais par contre puor la minoration j'ai un ln(n+1)...

  15. #12
    Hamb

    Re : Série harmonique et intégrales.

    c'est un détail, ln(n) < ln(n+1) ...

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  17. #13
    neokiller007

    Re : Série harmonique et intégrales.

    Ah, bah oui ^^
    Merci.

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