Série harmonique et intégrales.

[invite0c5534f5]

Salut,
On a restreinte à l'intervalle
J'ai démontré que pour k, un entier naturel non nul, et pour t décrivant le segment [k , k+1] on a:


Et de même, pour k un entier naturel 2, et pour t décrivant le segment [k-1 , k] on a:


Pour n un entier naturel non nul, on note

Je dois montrer que:

Et j'avoue que je sèche complètement....

Une petite piste ?

Merci.
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[invite57a1e779]

Il suffit, pour encadrer , d'utiliser l'encadrement de obtenu précédemment avec les intégrales.

[invite0c5534f5]

C'est ce que je me suis dit mais je tombe sur:


Je vois pas trop comment je peux m'en sortir.

[invitec317278e]

C'est ce que je me suis dit mais je tombe sur:

Certes, mais encore faut-il chercher à avoir Sn.
Pour cela, il faut sommer les , ce qui nous pousse naturellement à sommer ton inégalité, pour k variant de 1 à n.


Si on somme tout ça, en se servant des propriétés du logarithme, on a...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

C'est ce que je me suis dit mais je tombe sur:


Je vois pas trop comment je peux m'en sortir.

Il faut conserver les intégrales dans l'encadrement : la somme des intégrales est immédiate à calculer...

[invite0c5534f5]

Je comprend pas, ça veut dire quelque chose de sommer des inégalités ?
Il faut pas faire:

?

[invitebfd92313]

tu as une inégalité poru chaque terme de la somme des 1/k, donc en sommant membre à membre les inégalités tu obtiendras un encadrement de ta somme.

[invite57a1e779]

Je comprend pas, ça veut dire quelque chose de sommer des inégalités ?

Tu as, pour tout entier , , donc en additionnant les égalités obtenues en faisant varier de 1 à , tu obtiens :

et tu peux regrouper ta somme d'intégrales en une seule intégrale, il suffit de bien voir comment se raccordent les intervalles d'intégration...

[invite0c5534f5]

Ah ouais d'accord le sigma peut être utilisé comme un opérateur.
Donc ça ne donnerait
Et on voit bien là le problème c'est qu'il faut commencer à k=2 ce qui ne nous arrange pas...

[invite57a1e779]

Oui, la majoration par l'intégrale n'a pas lieu pour , donc l'encadrement de devra en tenir compte : c'est pour cela qu'il est dissymétrique.

[invite0c5534f5]

J'arrive bien au 1+ln n mais par contre puor la minoration j'ai un ln(n+1)...

[invitebfd92313]

c'est un détail, ln(n) < ln(n+1) ...

[invite0c5534f5]

Ah, bah oui ^^
Merci.