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Lieu géométrique



  1. #1
    Pitai

    Lieu géométrique

    Bonjour tout le monde.
    j'ai une petite urgence.

    1 - calculer z = v² : on donnera sa forme algébrique z= x + i y et r son module. (c'est fait)

    2- Prouver l'égalité r = x +1/2 (c'est fait).

    Et c'est là que ça se corse.

    3- en deduire une relation liant exclusivement x et y puis le lieu décrit par l'image M du nombre complexe z lorsque t décrit l'intervalle ] 0 , 2 pi [.

    Qu'est-ce que ça veut dire : " le lieu décrit par l'image ... " ?

    A Noter :
    z= x + i y avec x = [ 2 cos² (t/2) -1 ] / [4 sin²(t/2) ] et y = cos(t/2) / [2 sin (t/2) ]

    et r = 1/ [4 sin² (t/2) ]

    -----


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  3. #2
    Pitai

    Re : Lieu géométrique

    pour la relation liant x et y , j'ai trouvé : y² = x +1/4

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Lieu géométrique

    Ca serait gentil de donner aussi le début de l'énoncé. Par exemple, v c'est quoi ?

  5. #4
    Pitai

    Re : Lieu géométrique

    Dans toute cette question, on supposera 0 < t < 2 pi et on note v celle des solution de (1) dont l'argument est t /2

    2 u² ( 1 - cos t) - 2 u sin t +1 = 0 (1) d'inconnue u

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Lieu géométrique

    Le lieu c'est l'ensemble des points [x,y] parcourus par le point d'affixe z.
    Je n'ai pas trouvé le même signe que toi sur x, d'ailleurs avec ton expression on n'a pas z = x + 1/2
    Et aussi un facteur 2 dans la relation entre y² et x : y² = 1/4 + x/2
    Mais j'ai pu me tromper.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Pitai

    Re : Lieu géométrique

    je reverifie mon expression et je retrouve bien r = 1/2 + x

    et sinon,

    comme r = x + 1/2

    racine de (x² + y²) = x +1/2

    (en élevant au carré dans les 2 membres et comme x² + y² > 0), on a :

    x²+y² = (x + 1/2) ²
    x²+y² = x² +x + 1/4

    soit y² = x +1/4 .

    Mis à part ceci, je ne vois toujours pas comment trouver le lieu décrit par l'image M.

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : Lieu géométrique

    Eh bien le lieu c'est la parabole y² = x + 1/4
    Faut voir entre combien et combien varie x

  11. #8
    Pitai

    Re : Lieu géométrique

    Pouvez vous expliciter votre réponse s'il vous plait ?

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Lieu géométrique

    Si tu avais l'équation y = x² - 1/4, tu identifierais une parabole, n'est-ce pas ? Ici on a échangé les coordonnées, donc c'est une parabole couchée.

  13. #10
    Pitai

    Re : Lieu géométrique

    désolé d'abuser de ta patience Jeanpaul, mais cela reste toujours implicite.
    :S
    Il aurait suffit de déduire une relation entre x et y pour trouver le lieu décrit par l'image M ?
    Ca me semble simple comme réponse (en même temps, je n'avais jamais affaire à une question de ce type là).
    Et puis vous parlez de voir entre combien et combien varier x et maintenant vous me dites que que le lieu est y² = x +1/4.
    Je ne vois pas la logique

  14. #11
    Jeanpaul

    Re : Lieu géométrique

    Ben oui, c'est simple, la relation entre x et y d'un complexe z = x + i y donne la courbe sur laquelle se promène l'image de z.
    Ici donc une parabole.
    Le problème, c'est : la parabole est-elle décrite entièrement ou juste un morceau ? Pour cela, il faut voir si y varie de - infini à + infini, alors c'est toute la parabole.
    En fait tes équations x = f(t) et y = g(t) sont une représentation paramétrique d'une parabole (ou d'un morceau, faut voir).

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