Lieu géométrique

[inviteb473d51f]

Bonjour tout le monde.
j'ai une petite urgence.

1 - calculer z = v² : on donnera sa forme algébrique z= x + i y et r son module. (c'est fait)

2- Prouver l'égalité r = x +1/2 (c'est fait).

Et c'est là que ça se corse.

3- en deduire une relation liant exclusivement x et y puis le lieu décrit par l'image M du nombre complexe z lorsque t décrit l'intervalle ] 0 , 2 pi [.

Qu'est-ce que ça veut dire : " le lieu décrit par l'image ... " ?

A Noter :
z= x + i y avec x = [ 2 cos² (t/2) -1 ] / [4 sin²(t/2) ] et y = cos(t/2) / [2 sin (t/2) ]

et r = 1/ [4 sin² (t/2) ]
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[inviteb473d51f]

pour la relation liant x et y , j'ai trouvé : y² = x +1/4

[invitea3eb043e]

Ca serait gentil de donner aussi le début de l'énoncé. Par exemple, v c'est quoi ?

[inviteb473d51f]

Dans toute cette question, on supposera 0 < t < 2 pi et on note v celle des solution de (1) dont l'argument est t /2

2 u² ( 1 - cos t) - 2 u sin t +1 = 0 (1) d'inconnue u

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Le lieu c'est l'ensemble des points [x,y] parcourus par le point d'affixe z.
Je n'ai pas trouvé le même signe que toi sur x, d'ailleurs avec ton expression on n'a pas z = x + 1/2
Et aussi un facteur 2 dans la relation entre y² et x : y² = 1/4 + x/2
Mais j'ai pu me tromper.

[inviteb473d51f]

je reverifie mon expression et je retrouve bien r = 1/2 + x

et sinon,

comme r = x + 1/2

racine de (x² + y²) = x +1/2

(en élevant au carré dans les 2 membres et comme x² + y² > 0), on a :

x²+y² = (x + 1/2) ²
x²+y² = x² +x + 1/4

soit y² = x +1/4 .

Mis à part ceci, je ne vois toujours pas comment trouver le lieu décrit par l'image M.

[invitea3eb043e]

Eh bien le lieu c'est la parabole y² = x + 1/4
Faut voir entre combien et combien varie x

[inviteb473d51f]

Pouvez vous expliciter votre réponse s'il vous plait ?

[invitea3eb043e]

Si tu avais l'équation y = x² - 1/4, tu identifierais une parabole, n'est-ce pas ? Ici on a échangé les coordonnées, donc c'est une parabole couchée.

[inviteb473d51f]

désolé d'abuser de ta patience Jeanpaul, mais cela reste toujours implicite.
:S
Il aurait suffit de déduire une relation entre x et y pour trouver le lieu décrit par l'image M ?
Ca me semble simple comme réponse (en même temps, je n'avais jamais affaire à une question de ce type là).
Et puis vous parlez de voir entre combien et combien varier x et maintenant vous me dites que que le lieu est y² = x +1/4.
Je ne vois pas la logique

[invitea3eb043e]

Ben oui, c'est simple, la relation entre x et y d'un complexe z = x + i y donne la courbe sur laquelle se promène l'image de z.
Ici donc une parabole.
Le problème, c'est : la parabole est-elle décrite entièrement ou juste un morceau ? Pour cela, il faut voir si y varie de - infini à + infini, alors c'est toute la parabole.
En fait tes équations x = f(t) et y = g(t) sont une représentation paramétrique d'une parabole (ou d'un morceau, faut voir).