Intégration

[invitea43eb528]

Donc voilà, j'ai un gros doute.
On pose pour tout réel non nul t, f(t)=1/t

Soit g la fonction affine définie sur l'intervalle [k-1,k] avec k un entier supérieur ou égal à 2.
g est définie par : g(k-1)=f(k-1) et g(k)=f(k)

On doit calculer l'intégrale de k-1 à k de g(t)dt.

Je pensais qu'on pouvait écrire que cette intégrale revenait à calculer l'intégrale de k-1 à k de f(t)dt, mais après on doit montrer l'existence d'une fonction h, affine sur chaque intervalle ]-∞,k-1/2[ et ]k-1/2,+∞[ telle que h(k-1)=f(k-1) , h(x)=f(k) , h'(k-1)=f'(k-1) et h'(k)=f'(k).
Et on nous demande de calculer l'intégrale de k-1 à k de h(t)dt.

Et ensuite de démontrer que quelquesoit t appartenant à [k-1,k], h(t)≤f(t)≤g(t).

Donc je pense que le calcul des intégrales de g(t) et de h(t) sont plus complexes que ce que je pensais, mais je ne vois pas comment les calculer.
Faudrait-il utiliser Taylor-Lagrange?

Merci de votre aide.
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[inviteaf1870ed]

tu fais une intégration par la méthode des trapèzes : g et h sont des fonctions affines qui encadrent ta fonction f.
Fais un dessin et tu verras que l'aire sous les fonctions g et h est particulièrement simple à calculer

[invitea43eb528]

Est-ce que l'on peut faire ceci sinon :

Int(de k-1 à k) de g(t)dt= G(k)+G(k-1)
[G(k)-G(k-1)]'=g(k)-g(k-1)=f(k)-f(k-1)=1/k - 1/(k-1)
Et ensuite intégrer ce résultat, d'où :
Int(de k-1 à k) de g(t)dt=Int(de k-1 à k) de [1/k -1/(k-1)]=ln(k)-2ln(k-1)+ln(k-2)

Et en faire de même avec l'intégrale de h, mais en dérivant deux fois puis en intégrant deux fois, ce qui nous amène à :
Int(de k-1 à k) de h(t)dt=ln(k)-3ln(k-1)+3ln(k-2)-ln(k-3).

[invitea43eb528]

Je viens de me rendre compte que je ne pouvais pas utiliser ce que je viens de faire précédemment, puisque k est supérieur ou égal à 2. Et donc ln(k-3) et ln(k-2) ne sont pas définis.
J'essaye par la méthode des trapèzes, mais je vois pas comment faire sachant qu'on ne connait ni g, ni h.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Tu fais trop compliqué : ta fonction g est affine par morceaux. Quelle est l'aire sous la courbe de g entre k-1 et k ?
Pour h, qui est également une fonciton affine par morceaux, je te recommande de faire d'abord un dessin.

[invitea43eb528]

Je vois, c'est [g(k)+g(k-1)]/2 = 1/2[1/k + 1/(k-1)]

[inviteaf1870ed]

oui..........

[invitea43eb528]

Merci beaucoup ericcc, j'ai réussi à finir mon dm.