Loi de Poisson

[invite8ebfbe43]

Bonjour à tous!
j'ai un problème avec l'exercice suivant, je n'arrive pas comprendre comment le résoudre, quel raisonnement faut faire.
Enoncé:

"Une compagnie de transport à établi que la loi du nombre de fraudeurs parmi 100 voyageurs contrôlés suit une loi de poisson d'espérance 2 si le controle est effectué un lundi et d'espérance 1 si c'est un dimanche. Un employé a reçu l'ordre de controler 100 personnes dimanche prochain et 100 autres le lendemain. Déterminer la probabilité qu'il trouve en tout 2 personnes en situation irrégulière."

Merci beaucoup d'avance!!!
-----

[invitea3eb043e]

Tu y vas pédestrement :
D'abord le dimanche :
- quelle proba de gauler 0 fraudeur ? (loi de Poisson)
- quelle proba de gauler 1 fraudeur ?
- quelle proba de gauler 2 fraudeurs ?

Ensuite le lundi : exactement les mêmes questions (mais la loi a changé)

ensuite on combine : comment peut-on arriver à un total de 2 fraudeurs sur les 2 jours ?

Les évènements sont indépendants entre le dimanche et le lundi.

[invite986312212]

"Une compagnie de transport à établi que la loi du nombre de fraudeurs parmi 100 voyageurs contrôlés suit une loi de poisson d'espérance 2 si le controle est effectué un lundi et d'espérance 1 si c'est un dimanche.

salut,

c'est un peu gênant de proposer un exercice de probas avec une telle incohérence. La loi de Poisson est une loi sur les entiers qui attribue une probabilité positive à chaque entier. En d'autres termes une variable de Poisson n'est pas bornée, et donc le nombre de fraudeurs parmi 100 ne peut certainement pas suivre une loi de Poisson. Que ça soit une bonne approximation, c'est certain parce qu'avec une loi de Poisson de moyenne 2, la probabilité d'observer plus de 100 est de l'ordre de $10^{-120}$ mais ça n'est pas bien rigoureux.

[invite8ebfbe43]

Alors pour dimanche je trouve: 0,73 et pour lundi: 0,67
Maintenant pour combiner, je doit multiplier les probabilité entre elle, parce que c'est indépendant? non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Pas si simple quand même :
tu peux avoir
0 fraudeur le dimanche et 2 le lundi ou bien
1 le dimanche et 1 le lundi ou bien
2 le dimanche et 0 le lundi
Dans tous les cas ça fait 2 fraudeurs en tout, il faut examiner ces 3 cas.

[invite8ebfbe43]

Dans ce cas là, on applique une loi binomiale, avec la combinaison? parce que j'arrive pas à saisir le truc.

[invite986312212]

pas besoin, la somme de deux Poisson indépendantes est une Poisson (de moyenne 3 ici).

[invitea3eb043e]

Ce que dit Ambrosio est juste mais pas forcément intuitif, alors on peut s'y prendre par étapes :
La loi de Poisson donne la probabilité d'avoir n fraudeurs quand la moyenne est 1 (cas du dimanche) ;
Pd(0) = 1^0 . exp(-1) /0! = exp(-1) (avec d pour dimanche)
Pd(1) = 1^1 . exp(-1) /1!
etc pour Pd(2)

Et pareil pour lundi mais la moyenne est 2 :
Pl(0) = (je te laisse faire)
Pl(1) = ...
Pl(2) = ...

et tu combines les probabilités en sommant les cas Pd(0).Pl(2) + Pd(1).Pl(1) etc...

[invite8ebfbe43]

Merci beaucoup JeanPaul pour ton aide! j'ai continué le raisonnement! je pense avoir compris! merci!

[invite986312212]

ce n'est pas difficile de voir que la somme de deux Poisson indépendantes est encore une Poisson. Si et suivent des lois de Poisson de paramètres et , ce que je note
et , X et Y sont indépendantes, alors

soit un entier.

[invitea3eb043e]

Bravo pour la virtuosité Latex mais ce n'est pas intuituif quand même !
Moi du moins, je ne le sens pas ce théorème, sans le mettre en doute évidemment.

[invite986312212]

la loi de Poisson est un peu l'analogue de la loi normale pour les distributions discrètes. Ca tient à ce résultat, et à un autre plus profond qui est le théorème de Raikov. Mais la notion fondamentale est celle de processus de Poisson. si tu t'intéresses aux probas, tu auras certainement l'occasion de creuser ces notions.