Enigme de pré carré

[invite74a6a825]

Domi la réponse à ce problème est simple en principe, ce ne peut être une formule qui ne pourra donner, qu'une surface approchée de la moitié du pré

donc la réponse est dans l'énoncé: [la chèvre est attachée à une corde au milieu d'un des côté du carré !] elle doit manger la moitié ni plus ni moins.

c'est plus une devinette qu'une formule mathématique qui ne peut rien résoudre
et dieu n'avait pas besoin d'envoyer un matheu avec une bonne vue pour cogner sur les polytechniciens....

c'est la longueur de la corde que l'on cherche pas une surface puisque effectivement la surface est dans les données de l'énoncé, c'est la moitié du prés donc a²/2
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[Arkangelsk]

c'est une formule qui permet de calculer la surface S d'un triangle dont les 3 points (pqc) sont sur un cercle de rayon R

mais en fait dans la formule pqc/4R
p q et c sont les mesures des cotés du triangle

C'est vrai que j'ai un peu abrégé

Soit, donc, par exemple : p = PQ, et q = c = PC.

Je trouve donc, en utilisant ta formule : S = ( 2al² + 2a²l + a^3) / (2l²). Est-ce que c'est bien l'aire de S ?

[leg]

c'est la longueur de la corde que l'on cherche pas une surface puisque effectivement la surface est dans les données de l'énoncé, c'est la moitié du prés donc a²/2

très bien la longueur de la corde vaut 1 et permet à la chèvre de se déplacer tout le long du côté , par conséquent de brouter la moitié d'un pré de coté a = 2, longueur du côté admis par supposition!

prouve moi le contraire! ou que ma réponse est fausse, c'est à dire qu'elle ne correspond pas à la demande de l'énoncé :
moi je me déplace sur une surface rectangulaire et toi sur un rectangle + un arc de cercle .

à toute fin utile c'est la chèvre qui est attachée à la corde et non la corde qui est fixée au milieu du côté du carré sinon cela serait précisé.
ma réponse permet donc d'obtenir a²/2 toi une valeur approché...

[invite74a6a825]

à toute fin utile c'est la chèvre qui est attachée à la corde et non la corde qui est fixée au milieu du côté du carré sinon cela serait précisé.

Extrait de l'énoncé

une chèvre qu'il attache par une corde au milieu d'un des côtés du pré

Que je sache il ne précise pas que ce point d'attache peut coulisser le long du coté du carré, ce serait trop simple pour un polytechnicien

[invite74a6a825]

Soit, donc, par exemple : p = PQ, et q = c = PC.

Je trouve donc, en utilisant ta formule : S = ( 2al² + 2a²l + a^3) / (2l²). Est-ce que c'est bien l'aire de S ?

p=PQ=a (le coté du carré)
q=c=PC=l+Racine(a²/4+l²-a²/4)=2*l
S=a*4*l

si je ne me suis pas trompé c'est remarquablement simple !

[invite74a6a825]

p=PQ=a (le coté du carré)
q=c=PC=l+Racine(a²/4+l²-a²/4)=2*l
S=a*4*l

si je ne me suis pas trompé c'est remarquablement simple !

Mais je me suis trompé

Grand coté du triangle = l+Racine(l²-a²/4)
Petit coté =a/2
donc hypothénus = racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)
S=a*2*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)

C'était trop simple pour être vrai

[invite74a6a825]

Il manquez la division par 4l (renault)

S=(a*2*Racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²))/4l
S=Racine(2l²+2l*Racine(l²-a²/4) )*a/2l

[invite74a6a825]

Donc la surface des 3 portions
S=Pil²-Racine(2l²+2l*Racine(l²-a²/4) )*a/2l
le rapport entre les 2 portions egales et celle que l'on cherche
S=2*s1+s (on cherche s)
Rapport s1/s=racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a
s1=s*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a
S=s+2*s*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a
S=s*(1+2*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a)

s=S/(1+2*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a)

Donc

a²/4=(Racine(R²-a²/4)*a²+Pil²-Racine(2l²+2l*Racine(l²-a²/4) )*a/2l) / (1+2*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a)

ça va pas être simple d'extraire l

[invite74a6a825]

Pardons encore une erreur c'est a²/2= au lieu de a²/4=

a²/2=(Racine(l²-a²/4)*a²+Pil²-Racine(2l²+2l*Racine(l²-a²/4) )*a/2l) / (1+2*racine(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/a)

Il faudrait simplifier mais comment ?

[Arkangelsk]

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une erreur dans l'expression de S :

S = Racine(2l²+2l*Racine(l²-a²/4) )*a/2l

Petit raisonnement de physicien. L et a sont des longueurs. Le numérateur est homogène à une longueur au carré et le dénominateur à une longueur. Donc la fraction est homogène à une longueur, cela ne peut donc être une surface.

[invite74a6a825]

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une erreur dans l'expression de S :



Petit raisonnement de physicien. L et a sont des longueurs. Le numérateur est homogène à une longueur au carré et le dénominateur à une longueur. Donc la fraction est homogène à une longueur, cela ne peut donc être une surface.

Dans la formule S=pqc/4R c'est pareil et pourtant ça marche

[Arkangelsk]

Dans la formule S=pqc/4R c'est pareil et pourtant sa marche

Si p, q et c sont des longueurs, le numérateur est une longueur au cube et le dénominateur une longueur (un rayon), donc S est une longueur au carré (une surface).

[invite74a6a825]

c'est parque dans notre cas 2 des longueurs sont égales
donc il y a une longueur qui disparait S=pq/2R

[invite74a6a825]

Pardon, tu a raison j'ai fait une adition au lieu d'une multiplication

donc c'est S=p²q/4l

[invite74a6a825]

Ce qui doit simplifier

S=(a*(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/4l

[Arkangelsk]

Ce qui doit simplifier

S=(a*(a²/4+(l+Racine(l²-a²/4))²)/4l

Cela me paraît juste. J'ai repris mon calcul et je retrouve la même expression de S, qui est bien homogène à une aire :

[leg]

Extrait de l'énoncé

Que je sache il ne précise pas que ce point d'attache peut coulisser le long du coté du carré, ce serait trop simple pour un polytechnicien

tout à fait Domi , tout comme il n'est nullement indiqué que la corde est fixée au milieu du pré,
ce qui permet d'envisager deux solutions aussi valables l'une que l'autre.
ci ce n'est que dans un cas on obtient une valeur polytechnicienne "probablement approchée"; et non celle d'un paysan.....

[Arkangelsk]

tout comme il n'est nullement indiqué que la corde est fixée au milieu du pré,

Certes, non, la corde est fixée au milieu d'un des côtés du pré.

Rappel du problème :

Un fermier a un pré carré de côté 'a', et une chèvre qu'il attache par une corde au milieu d'un des côtés du pré.

[invite74a6a825]

tout à fait Domi , tout comme il n'est nullement indiqué que la corde est fixée au milieu du pré,
ce qui permet d'envisager deux solutions aussi valables l'une que l'autre.
ci ce n'est que dans un cas on obtient une valeur polytechnicienne "probablement approchée"; et non celle d'un paysan.....

Pas tout à fait leg car dans la réalité du paysan, faire coulisser la corde le long de la cloture interdit d'autres points daccroches de la tige sur laquelle coulisse la corde que les extrémité distante de a.

Hors si a est réaliste disons 10 ou 20 mètres la tige aura une flexion non négligeable en son centre quand la chèvre tirera dessus.
Elle décrira donc un grand arc de cercle et pas une droite.
Celà serait beaucoup plus difficile à calculer ...

[leg]

Pas tout à fait leg car dans la réalité du paysan, faire coulisser la corde le long de la cloture interdit d'autres points daccroches de la tige sur laquelle coulisse la corde que les extrémité distante de a.

Hors si a est réaliste disons 10 ou 20 mètres la tige aura une flexion non négligeable en son centre quand la chèvre tirera dessus.
Elle décrira donc un grand arc de cercle et pas une droite.
Celà serait beaucoup plus difficile à calculer ...

c'est pour cela qu'ensuite jai dit que j'utilisai une barre rigide ("qui ne se déforme pas")

je vois que l'on ne lache pas....le morceau , il ne me reste plus qu'à faire un ragout avec cette brave biquette, une foi brouter le secteur angulaire.
mais avant, le paysan m'a dit qu'il s'agissait d'une chèvre naine...ce qui modifie la longueur de la corde..... lol

[invite74a6a825]

Ce qui est troublant c'est que le triangle que j'ai utilisé est trés proche d'un triangle equilatéral de a de coté quand la longueur de la corde est de 1.647
Je trouve 2.02 graphiquement au lieu de 2 mais c'est assez proche vue que je n'ai pris que 3 chiffres aprés la virgule pour l
Ce qui implique que la solution serait trés simple graphiquement et prouverait qu'il y avait effectivement une solution simple mais pas facile à admettre.

[invite74a6a825]

Si j'ai raison alors

[invite74a6a825]

Pour a=2 je trouve 1,154701

Alors il y a peu être une erreur

[Arkangelsk]

Ce qui est troublant c'est que le triangle que j'ai utilisé est trés proche d'un triangle equilatéral de a de coté quand la longueur de la corde est de 1.647
Je trouve 2.02 graphiquement au lieu de 2 mais c'est assez proche vue que je n'ai pris que 3 chiffres aprés la virgule pour l
Ce qui implique que la solution serait trés simple graphiquement et prouverait qu'il y avait effectivement une solution simple mais pas facile à admettre.

Je ne vois comment du passes de l'aire de du triangle PQC à l'aire broutée par la chèvre. Pourrais-tu expliquer ? Sur mon dessin, le lien n'est pas très évident ...

Si tu retrouves l'aire broutée, tu devrais aboutir à l'expression suivante :

[invite74a6a825]

Je ne vois comment du passes de l'aire de du triangle PQC à l'aire broutée par la chèvre. Pourrais-tu expliquer ? Sur mon dessin, le lien n'est pas très évident ...

Tu pourra voir le triangle équilatéral de coté a ici :
http://perso.magic.fr/orcima/md/images/PresCarre.jpg

[invite74a6a825]

Si tu retrouves l'aire broutée, tu devrais aboutir à l'expression suivante :

Ce n'est pas l'aire brouté qu'on cherche puisqu'on la connais

On cherche la longueur de la corde
et c'est bien

l=a/(2*sin(60°))
le plus drole ces que
a/(2*cos(60°))=a

[invite74a6a825]

Il fallait donc poser cette question à un architecte mais pas à un polytechnicien

[invite74a6a825]

Il ne reste plus aux mathématitiens qu'a démontrer ce résultat mathématiquement.

[inviteaf1870ed]

Hmmm...quand je prends comme valeur pour l celle que tu donnes, et que je la réinjecte dans la formule de l'aire donnée par Martini, GB ou Arkangelsk, je ne trouve pas a²/2 : le terme en Arcsin donne du Pi/3

[invite74a6a825]

Hmmm...quand je prends comme valeur pour l celle que tu donnes, et que je la réinjecte dans la formule de l'aire donnée par Martini, GB ou Arkangelsk, je ne trouve pas a²/2 : le terme en Arcsin donne du Pi/3

La valeur que je trouve est 1,154701
et Martini trouve 1,164779 mais indique solution approchée

le terme en Arcsin donne du Pi/3

Pourrait tu être plus clair ?