DM de maths 1ère S sur les polynômes

[invitea118318b]

Bonjour,

Voilà, j'ai un DM de maths à faire et je coince dès le début.

Je vous donne l'énoncé :

1)
a) Déterminer le polynôme P, de degré 2, vérifiant pour tout x réel :
P(x+1) - P(x) = x

b) Prouver l'égalité : 1 + 2 + ... + n = P(n+1) - P(1)

En déduire que 1 + 2 + ... + n = (n(n+1))/2 pour tout n entier naturel (n supérieur ou égal à 1)

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Pour commencer, je dis que puisque P est un polynôme de degré 2, on a :
P(x) = ax² + bx + c

P(x+1) - P(x) = a(x+1)² + b(x+1) + c - (ax² + bx + c)
= a (x² + 2x + c) + bx + b + c - ax² - bx - c
= ax² + 2ax+ a +bx + b + c - ax² - bx - c
= 2ax + a + b

Mais du coup, je n'ai plus un polynôme de degré 2 et je ne sais plus quoi faire...
Est-ce que vous pouvez me donner une piste ?

Merci,

Thériel
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Pour commencer, je dis que puisque P est un polynôme de degré 2, on a :
P(x) = ax2 + bx + c

P(x+1) - P(x) = a(x+1)2 + b(x+1) + c - (ax2 + bx + c)
= a (x2 + 2x + c) + bx + b + c - ax2 - bx - c
= ax2 + 2ax+ a +bx + b + c - ax2 - bx - c
= 2ax + a + b

Ton calcul me semble correct. Il est normal que tu ne trouves pas un polynôme de degré 2 car tu as soustrait les termes en x². Pour la suite, tu poses P(x+1) - P(x) = x, et tu en déduis a, puis b. Tu obtiendras bien un polynôme P de degré 2.

[invitec5eb4b89]

Tu as bien saisi le début, maintenant tu dois identifier les coefficients de ton nouveau polynôme P(x+1)-P(x) = 2ax+a+b au coefficients du polynôme Q(x) = x... et tu en déduis les propriétés des polynômes de degrés 2 vérifiant la condition que tu as imposée...

[invite73124477]

salut,

On te demande de trouver un polynome de degré 2 tel que, pour tout x, P(x+1)-P(x)=x,
comme tu l'as écrit, tu poses P(x)=ax²+bx+c ... et tu remplaces.
Tu obtiens, comme tu l'as fait, une équation du type :

P(x+1)-P(x)=2ax+a+b <=> 2ax+a+b=x ... en effet, il faut que P(x+1)-P(x)=x ...

Ici, il te faut identifier les termes, à savoir : les termes en x doivent être égaux, et les termes scalaires (sans x) aussi. (sinon, tu peux prendre diverses valeurs de x bien choisies dans l'équation 2ax+a+b=x)

tu obtiens alors deux équations à deux inconnues. D'où a et b.

Ensuite, je te laisse deviner le sort pour le "c" .. qui n'apparait plus dans le developpement de P(x+1)-P(x). Ceci pour donner la réponse au problème posé : "trouver TOUS les polynomes de edgré 2 tels que ...".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite73124477]

pour la question b, il te suffit d'écrire P(n+1)-P(n)=n, puis P(n)-P(n-1)=n etc ... tu additionne tout ca et ... ca fait des chocapics !

remarque : ton dm te demande de montrer que 1+2+ ... +n =(n+1)n/2,
il existe une methode très simple de le retrouver :

S=1+2+3+...+n
+ (tu additionnes les deux lignes)
S=n+(n-1)+..+1

ca te donne : n(n+1)=2*S

d'ou le resultat ...

[invitea118318b]

Si j'ai bien compris ce que tu m'as dit, il faut juste que je choisisse 2 valeurs de x, par exemple x = 1 et x = 2, ce qui me donnera un système à résoudre :

2a * 1 + a + b = 1 <=> 3a + b = 1 <=> b = 1 - 3a (1)
2a * 2 + a + b = 2 <=> 5a + b = 2 <=> 5a + 1 - 3a = 2 (2)

On résout (2) :
5a + 1 - 3a = 2 <=> 2a = 1 <=> a = 1/2

Puis on résout (1) :
b = 1 - 3a <=> b= 1 - 3*(1/2) <=> b = -1/2

Donc a = 1/2; b= -1/2 et c= 0 et ainsi P(x) = 1/2x² -1/2x

C'est bien ça ?

Par contre, je ne comprends pas l'autre solution que tu me proposais :
"ici, il te faut identifier les termes, à savoir : les termes en x doivent être égaux, et les termes scalaires (sans x) aussi."

Merci pour ton aide,

Thériel

[Arkangelsk]

Donc a = 1/2; b= -1/2 et c= 0 et ainsi P(x) = 1/2x2 -1/2x

C'est bien ça.

Par contre, je ne comprends pas l'autre solution que tu me proposais :
"ici, il te faut identifier les termes, à savoir : les termes en x doivent être égaux, et les termes scalaires (sans x) aussi."

En fait, c'est simple :

- 2a est le terme en x, il doit être égal à 1
- a+b est le terme en , il doit être nul

[invite73124477]

effectivement, tu obtiens les bonnes valeurs de a et b (tu aurais pu prendre x=0 et x= 1 .... juste histoire d'economiser une ligne de calcul ....). alors quand je dis qu'il faut identifier les termes enx et "sans" x, ca signifie que quand tu as quelque chose comme P(x)=Q(x), avec P et Q deux polynomes (de degré n). Il te suffit d'agalier les coefficients devant les x^n pour vérifier l'égalité. je m'explique : si par exemple tu dois avoir ax²+bx+c=a'x²+b'x+c' alors tu peux écrire le système :
a=a'
b=b'
c=c'
on apelle ca iedntifier terme à terme. dans notre cas, tu avais 2ax+a+b=x.
donc, pour les termes en x :
2a=1
et sans x :
a+b=0
... tu retouvais la même chose (et heureusement !)

[invitea118318b]

pour la question b, il te suffit d'écrire P(n+1)-P(n)=n, puis P(n)-P(n-1)=n etc ... tu additionne tout ca et ... ca fait des chocapics !

remarque : ton dm te demande de montrer que 1+2+ ... +n =(n+1)n/2,
il existe une methode très simple de le retrouver :

S=1+2+3+...+n
+ (tu additionnes les deux lignes)
S=n+(n-1)+..+1

ca te donne : n(n+1)=2*S

d'ou le resultat ...

Là, je ne comprends pas ce que tu veux dire... D'où est-ce que tu sors P(n+1)-P(n)=n et P(n)-P(n-1)=n ? Ca n'est pas dans l'énoncé...
Et je ne vois pas le lien que tu as pu faire entre 1 + 2 + ... + n = P(n+1) - P(1) et ces deux équations...

Si tu pouvais me l'expliquer...

Thériel

[invitea118318b]

Je crois que je suis arrivée à quelque chose mais je ne suis pas sûre d'avoir le droit de faire ça comme ça :

1 + 2 + … + n = [ P(2) – P(1) ] + [ P(3) – P(2) ] + … + [ P(n) – P(n-1) ] + [ P(n+1) – P(n) ]
On élimine aussi P(3) et (-P(n-1)) car leurs opposés se trouvent dans les points de suspensions.
On obtient ainsi :
1 + 2 + … + n = P (n+1) – P(1)

Est-ce que ça vous paraît acceptable dans une copie de première ?

Merci

Thériel

[invite73124477]

salut,

effectiveemnt, ton calcul est juste, c'est tout a

[invite73124477]

oups ... desolé pour le message précédent ... erreur de frappe.

bref, ton calcul est juste, reste que tu ce que tu as fait nest pas vraiment une démonstration propemment dit ... c'est plutot une sorte de conjecture.

Ce que je te propose de faire, c'est une récurrence sur n. Si tu n'as pas vu les récurences, alors ta "demonstration" peut être admise ...

PS: pour ton post précédent, je comprends que tu ne comprennes pas car je me suis tout simplement trompé, je voualis écrire : P(n+1)-P(n)=n et P(n)-P(n-1)=n-1 (et non pas n .... évidemment). Pour le reste, c'est exactement ce que tu as fait : tu "aditionnes" les différentes relation qui se simplifient entre elles.

[invitea118318b]

merci ! Il ne me reste plus qu'à voir si j'ai une bonne note ou non ^^, mais bon, il y avait 2 autres exos en plus de celui-là..

Thériel

[inviteaea7afd4]

merci ! Il ne me reste plus qu'à voir si j'ai une bonne note ou non ^^, mais bon, il y avait 2 autres exos en plus de celui-là..

Thériel

j'ai un probleme en maths comment je peux l'annoncé comme vous sur cette cite