comprendre un cour sur les polynomes 1ere S !

[invitea74ec5b7]

Démontrer que le polynôme p(x) 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 est divisible par x²+x-2


X E R 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 = (x²+x-2)(ax²+bx+c)

Remarque : a=2 et b=-1 [Probleme : Je ne sais pas si j'ai mal noté le cour dans le cas où c = -1 et j'aimerais comprendre comment la prof a procédé pour trouver A et B ?]

X E R 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 = (x²+x-2)(2x²+bx-1)
X E R 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 = 2x⁴ + 2x³ - 4x² + bx³ + bx² -2bx -x² - x +2
X E R 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 = 2x⁴ + (2+b)x³ + (-2b-1)x + 2


Par identification :

2= 2

2=2

2=2+b

b=0

-5=-4+b-1

-5=-5

-1=-2b-1

-1=-1

2=2

2=2

X E R 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 = (x²+x-2)(ax²+bx+c)
X E R 2x⁴ + 2x³ - 5x² - x + 2 = ax⁴ + (a+b)x³ + (-2a+c+b)x² + (c-2b)x -4


Les réels a , b et c verifient:

a=2

a=2

a+b=2

b=0

-2a+c+b=-5

c=-1

c-2b=-1

c=-1

-2c=2

c=-1

voila ^^
Merci d'avance
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[Bruno]

Ben par identification elle en déduit un système de 3 lignes à 3 inconnues et par substitution elle y arrive.

Mais je ne comprend pas pourquoi a et b sont choisis comme ça, arbitrairement ?

Sinon ya plus simple : une simple division euclidienne. Si le reste de cette division vaut 0, alors le polynôme est divisible.

[invitea74ec5b7]

Ce qui m'a posé probleme à moi aussi c'est le fait que a et b ont été choisis arbitrairement.
Et dans cette ligne : X E R 2x4 + 2x3 - 5x² - x + 2 = (x²+x-2)(2x²+bx-1)
c'est C qui a été remplacé par -1 et non B...