Bonjour,
On a démontré que :
(1) : Une matrice A est de rang 1 ssi il existe x et y des vecteurs non nuls tels que : A = x*t(y) (transposée de y).
(2) : Une matrice A est de rang 2 ssi il existe (x,z) et (y,w) libres telles que : A = x*t(y) + z*t(w).
N'existe-t-il pas de résultat plus général pour une matrice de rang r ?
Merci.
Essaie, par récurrence :
Une matriceest de rang
Merci pour votre réponse.
C'est bien ça, ce que je voulais vérifier
Dans le même cadre, (un sujet portant sur les endomorphismes conservant le rang), on introduit :
f un endomorphisme de l'ensemble des matrices complexes d'ordre n, qui conserve le déterminant?
r = rg(X), X une matrice complexe d'ordre n telle que [/TEX]X=PJ_{r}Q et on pose Y=P(I-J_{r})Q[/TEX] avec P et Q inversibles.
On demande de montrer que D=det(kX+Y) est un monôme en fonction de k.
Je trouve D=det(PQ).k^r
Ensuite; on pose s=rg(f(X)). Et on me demande de montrer que det(k.f(X)+f(Y)) est un polynôme en k dont on comparera le degré à s. Puis il demande de comparer r à s et montrer que f est inversible.
Ce que je trouve bizarre est le fait que f conserve le déterminant donc je trouve que det(k.f(X)+f(Y)) = det(PQ).k^r (pourquoi il dit polynôme ?) et aussi le degré est égal à r, alors pourquoi il demande de le comparer deux fois avec s ?
En fait je ne trouve aucune piste pour comparer r et s.
Merci d'avance.
