1)exp est une fonction dérivable sur R
2) sa fonction dérivée , notée exp', est telle que, pour tout réel x : exp'(x) = exp(x)
3)exp(0) = 1
En utilisant que ces 3 propriétés de la fonction exp, démontrer que:
-Pour tout réel a et pour tout réel b, exp(a+b) = exp(a) * exp(b)
Ce raisonnement est il valable (et n'utilise que les 3 propriétés citées) et si oui pourriez vous me l'expliquer:
Soit réel x et tout réel a fixé,
On pose h(x)=exp(x+a)exp(-x)
h(x) est définie et dérivable sur R, d'où:
h'(x)=exp(x+a)*exp(-x)+exp(x+a)*(-1)exp(-x)
=exp(x+a)*exp(-x)-exp(x+a)*exp(-x)
=0
Donc h(x) est constante.
De plus,
h(0)=exp(a) exp(x+a)exp(-x)= exp(a)
D'où:exp(x+a)=exp(x)exp(a).
CQFD
je souhaiterais savoir pourquoi utilise t'on la fonction exp(x+a)exp(-x)
au début (càd pourquoi cette foncion plutot que exp(x)*exp(a) par exemple) et comment explique t'on les 2 dernières lignes de calcul (avant le CQFD) ?
merci d'avance pour vos réponses
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