supérieur : les complexes ! (vérification)

[invite71ef1098]

Bonjour ! Alors je suis en train de faire mon DM et je demande juste une petite vérification !

1) Résoudre dans C l'équation Z^5= -i

J'écris en somme (Z^5)²=1
Z^10 = 1

π= pie !

On a alors un nombre complexe tel que z^n=1 avec n=10 donc il y a 10 racine qui sont les e^^(2ikπ/10) avec k = (0;1;2;...;9)

D'où mes racines :

e^0=1

e^i2π/10 =cos(π/5) + i sin (π/5)

...

e^18π/20 = cos 9π/5 + isin 9π/5

Bon je vous passe de toutes les racines intermédiaires que j'ai trouvés sachant qu'elles sont au nombre de 10!

Mes calculs sont ils justes jusqu'ici?

2)

Calculer la somme des racines. Comment peut on interpréter ce résultat en terme de barycentre?

Et bien la somme des racines m'amène à e^(i9π) (barycentre??)

3)

Résoudre dans C l'équation 1+iz-z²-iz^3+z^4=0

Alors là pas trop d'idée...Se ramener à une équation du second degré? Ou partir du fait que iz-z²-iz^3+z^4=1 et résoudre??
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[God's Breath]

Bonjour,

1) Résoudre dans C l'équation Z^5= -i

Bon je vous passe de toutes les racines intermédiaires que j'ai trouvés sachant qu'elles sont au nombre de 10!

Mes calculs sont ils justes jusqu'ici?

Visiblement non, car l'équation à résoudre étant du cinquième degré, elle ne peut pas avoir 10 solutions...

Il serait plus efficace d'écrire afin de calculer , et en déduire .

[Médiat]

1) Résoudre dans C l'équation Z^5= -i

J'écris en somme (Z^5)²=1
Z^10 = 1

J'utilise ta méthode pour résoudre l'équation x = -1 (qui n'a qu'un seule racine) :
j'écris (comme toi)
x² = 1, qui a 2 racines ...
Le mieux est sans doute de te replonger dans la méthode qui permet de résoudre z¹⁰ = 1, et de l'appliquer à ton équation

[invite71ef1098]

Bonjour,



Visiblement non, car l'équation à résoudre étant du cinquième degré, elle ne peut pas avoir 10 solutions...

Il serait plus efficace d'écrire afin de calculer , et en déduire .

Je ne comprends pas la méthode! a t'on le droit d'élever en exposant 5 d'un seul coté de l'égalité?!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71ef1098]

J'utilise ta méthode pour résoudre l'équation x = -1 (qui n'a qu'un seule racine) :
j'écris (comme toi)
x² = 1, qui a 2 racines ...
Le mieux est sans doute de te replonger dans la méthode qui permet de résoudre z¹⁰ = 1, et de l'appliquer à ton équation

Donc Z^10=1 est correct! Mais alors j'aurais 10 racines comme me la fait remarquer god breaths ! ET la méthode pour résoudre l'égalité est de rechercher les racines qui sont les e^2ikPIE/n donc les e^2ikPIE/10 ce que j'ai pourtant essayé d'appliquer! Non?

Enfin d'après ce que tu m'as dis je ne peut en fait garder seulement une "partie" des racines, la moitié du coup, non?
car pour x=-1
donc x²=1 et bien on à comme racine -1 et 1 qui sont solutions de x² mais seulement -1 convient pour x= -1. c'est ça?

[God's Breath]

Je n'élève un membre de l'égalité à la puissance 5 !!!
Je me contente d'utiliser le fait que pour réécrire l'égalité sous une forme plus propice à la résolution de l'équation... tout en la conservant du cinquième degré, afin de n'obtenir que 5 solutions.

Ton problème est que l'on a bien , mais que l'on a pas : lorsque tu passes de à , tu introduis des solutions étrangères à l'équation initiale.

[Médiat]

Donc Z^10=1 est correct! Mais alors j'aurais 10 racines comme me la fait remarquer god breaths ! ET la méthode pour résoudre l'égalité est de rechercher les racines qui sont les e^2ikPIE/n donc les e^2ikPIE/10 ce que j'ai pourtant essayé d'appliquer! Non?

La méthode est bien d'écrire z et -i sous forme exponentielle (les arguments de -i sont ).

Une remarque méthodologique : La solution proposée par God's Breath est plus astucieuse (et donc plus économique), celle que je propose est plus générale, la solution de God's Breath est donc préférable à condition de connaître la méthode générale.

[invite71ef1098]

Je n'élève un membre de l'égalité à la puissance 5 !!!
Je me contente d'utiliser le fait que pour réécrire l'égalité sous une forme plus propice à la résolution de l'équation... tout en la conservant du cinquième degré, afin de n'obtenir que 5 solutions.

Ton problème est que l'on a bien , mais que l'on a pas : lorsque tu passes de à , tu introduis des solutions étrangères à l'équation initiale.

Ok tu vas t'énerver...lol mais (Z/-i)^5=(Z²/1)^5 d'où Z^10=1 ! Ce qui est logique à rapport au équivalences que tu m'as donné. Mais je ne vois pas comment faire autrement malgré ta modification d'écriture de l'égalité.

[God's Breath]

La méthode est bien d'écrire z et -i sous forme exponentielle (les arguments de -i sont ).

Une remarque méthodologique : La solution proposée par God's Breath est plus astucieuse (et donc plus économique), celle que je propose est plus générale, la solution de God's Breath est donc préférable à condition de connaître la méthode générale.

Ma méthode consiste à déterminer (rapidement et de tête) module et arguments de -i, afin d'en utiliser une forme exponentielle sympathique : les calculs sont plus simples à partir de qu'à partir de .

Mais le principe, et vous serez d'accord mon cher Médiat, est de ne surtout pas élever l'équation au carré, sous peine d'introduire des racines indésirables.

[God's Breath]

Ok tu vas t'énerver...lol mais (Z/-i)^5=(Z²/1)^5 d'où Z^10=1 !

Là, tu as raison, je vais m'énerver !

L'égalité est tout ce qu'il y a de plus faux.

[invite71ef1098]

Là, tu as raison, je vais m'énerver !

L'égalité est tout ce qu'il y a de plus faux.

Et bien on a (Z/-i)^5=1
(-iZ/-1)^5=1
(iZ)^5=1 ?

[Thorin]

Oui, mais là, il n'y a pas ce que tu mettais dans ton précdent message !

[Médiat]

Ma méthode consiste à déterminer (rapidement et de tête) module et arguments de -i, afin d'en utiliser une forme exponentielle sympathique : les calculs sont plus simples à partir de qu'à partir de .

J'avais bien compris, et j'ai même bien écris que ta méthode était préférable, non (en aucun cas, mon intervention n'étais une critique de la tienne (d'ailleurs je ne l'avais pas encore lu)) ? Et si j'ai ajouté à condition de connaître la méthode générale, c'est parce qu'il me semble que toctoc ne la maîtrise pas.

Mais le principe, et vous serez d'accord mon cher Médiat, est de ne surtout pas élever l'équation au carré, sous peine d'introduire des racines indésirables.

C'est bien ce que j'ai écrit dans ma première intervention, sous la forme d'un exemple démonstratif (puisque toctoc l'a bien compris).

[God's Breath]

Maintenant, tu ne trouves plus qu'une solution : , de plus en plus bizarre.

Le principe de résolution de l'équation est pourtant bien connu : on écrit sous forme exponentielle ce qui permet de déterminer un nombre complexe tel que .
On réécrit l'équation , ou encore , et l'on est ramené à calculer comme racine -ième de l'unité.

[invite71ef1098]

Maintenant, tu ne trouves plus qu'une solution : , de plus en plus bizarre.

Le principe de résolution de l'équation est pourtant bien connu : on écrit sous forme exponentielle ce qui permet de déterminer un nombre complexe tel que .
On réécrit l'équation , ou encore , et l'on est ramené à calculer comme racine -ième de l'unité.

Bon je vais revoir le cours je pense..je suis plus qu'embrouillez pour l'instant! Merci pour l'aide quand même je vois les erreurs à éviter. Mais encore une question, à priori quand j'écris Z^10=1 je trouve 10 racines, mais donc 5 des ces racines vont en effet résoudre z^5=-i non?

[God's Breath]

Mais encore une question, à priori quand j'écris Z^10=1 je trouve 10 racines, mais donc 5 des ces racines vont en effet résoudre z^5=-i non?

Oui, il ne reste donc qu'à chercher ces 5 solutions parmi les 10 possibles.
C'est pourquoi, il est préférable de bien maîtriser la résolution de l'équation .
Parce que le jour où tu auras à résoudre et que tu passes par , il te faudra choisir les 1005 solutions parmi 2010 possibles...

[invite71ef1098]

Oui, il ne reste donc qu'à chercher ces 5 solutions parmi les 10 possibles.
C'est pourquoi, il est préférable de bien maîtriser la résolution de l'équation .
Parce que le jour où tu auras à résoudre et que tu passes par , il te faudra choisir les 1005 solutions parmi 2010 possibles...

Donc soit a = e^(-5iPI/2)
Z^5=-i
Z^5= (Racine nième de 5 de (1) * e^(-i5PIE/2))^5

(Z/-i)^5 = 1

Bon c'est bon j'ai déjà compris ça!! (ok ça fait une heure que tu t'éfforces à m'expliquer mais bon ça paye!! lol)

Moi, d'après mon cours je sais résoudre Z'^n= 1 donc ici mon Z'=(Z/-i) c'est ça? et il y a 5 racines nième de 1 qui sont les e^2ikPIE/5
avec k appartenant à (0;1;2;3;4) c'est ça?



Mais mes racines en faits sont les e^2ikPIE/5 et comme je connais les différentes valeurs de k (0;1;2;3;4) je peut les calculer directement et je trouve

e^0 = 1

e^(2pi/5) = cos 2PI/5 +isin 2PI/5

etc et j'en trouve bien 5 !
Est ce que cette fois c'est mieux??!!!

[invite71ef1098]

Voila j'ai toutes mes racines! la somme de celles si me donne :

e^((0+4PI+8PI+2PI+6PI/)5) = e^iPI/4

= cos 4PI + isin4PI = 1+i0 = 1 Donc le point d'affixe 1 est le barycentre de mes racines, mes racines étant sur le cercle trigonométriques. Juste??! En tout cas c'est moin flou, et pour cela MERCI!

[God's Breath]

(Z/-i)^5 = 1

Bon c'est bon j'ai déjà compris ça!!

On progresse donc.

Moi, d'après mon cours je sais résoudre Z'^n= 1 donc ici mon Z'=(Z/-i) c'est ça? et il y a 5 racines nième de 1 qui sont les e^2ikPIE/5
avec k appartenant à (0;1;2;3;4) c'est ça?

Mais mes racines en faits sont les e^2ikPIE/5 et comme je connais les différentes valeurs de k (0;1;2;3;4) je peut les calculer directement et je trouve

Les , ce sont les racines de , donc les solutions pour .
Les racines de ton équation en sont donc les .

Ensuite, pour ton barycentre, l'affixe n'est pas de la forme , mais ...

[invite71ef1098]

On progresse donc.



Les , ce sont les racines de , donc les solutions pour .
Les racines de ton équation en sont donc les .

Ensuite, pour ton barycentre, l'affixe n'est pas de la forme , mais ...

Ah mais oui! C'est logique d'ailleurs encore faut il que je m'en souvienne! On cherchait à résoudre Z^5=-i...
Donc j'ai rétablis mes racines ce qui me donne pour leur somme
-1/5i si je ne m'abuses.

[God's Breath]

Il me semble que les racines du polynôme ont une somme nulle...

[invite71ef1098]

Il me semble que les racines du polynôme ont une somme nulle...

ah ui erreur de calcul, merci! donc c'est l'isobarycentre ... ok merci!

[invite71ef1098]

ah ui erreur de calcul, merci! donc c'est l'isobarycentre ... ok merci!

Ok c'est parfait j'ai tout compris et je pense être capable de le refaire à l'occasion! Merci pour toutes les explications et de ne pas avoir perdu espoir avec mon cas!