Noyaux, images, polynômes
Bonjour,
alors voila mon problème : E= R-ev
Soit f : R[X] -> L(E) ; P(X) -> P(u)
Et je dois calculer Ker(f) et im(f) dans le cas d'une symétrie.
Je sais que pour ker(f) je dois trouver un poylnôme annulateur mais je ne voit pas lequel..... et pour l'image je suis perdu....
Si quelqu'un peut m'aider il est le bienvenue. Merci d'avance!!
Bonjour,
Un projecteur vérifie p²=p, i.e. p²-p=0.
On peut ainsi en déduire qu'un polynôme annulateur est X²-X.
Quelle relation simple vérifie une symétrie ?
s²=IdE.
Donc le polynôme serait donc X²-1?
Et pou l'image, qu'en est il?
Bonjour,
et bien tu as la relation s² = Id, et si tu prend l'image de P par f tu va avoiret donc en utilisant ta formule, comment peut tu simplifier les termes en s^k avec k plus grand que 2 (en fonction de la parité de k bien entendu ) ?
Une fois revenu a une expression plus buvable tu aura alors une inclusion évidente de Im(f) dans un sous-ev de L(E) et tu n'aura plus qu'à montrer l'autre inclusion pour avoir ton Im(f).
Au passage, ker(f) est un ensemble de polynômes et non un polynôme.
en simplifiant j'obtiens a0Ide+a1s+a2ide+a3s+....+ans (resp Ide si n est paire)
Mais je ne vois pas dans quel espace j'arrive de cette manière....
Ker(f) n'est pas juste égal à X²-1? X²-1 représente t il bien à un idéal annulateur?
Désolé d'etre si exigeant mais mercid e votre aide ^^
help me help me
Et bien pour l'image tu as donc montré que
On a donc que Im(f) est inclu dans l'ensemble des applications linéaires de la forme a*s + b*Id. Il ne te reste alors plus qu'à montrer que cet ensemble est inclu dans Im(f), pour cela tu prend une application linéaire de la forme a*s+b*Id et tu n'a plus qu'à trouver un élément Q de R[X] tel que f(Q) = a*s + b*Id et c'est bon, par double inclusion tu as im(f) ^^.
Sinon le noyau d'une application linéaire est un idéal, ça devrait t'aider. Mais attention ça ne veut pas forcemment dire que ker(f) est l'idéal engendré par (X² - 1) , il faut voir en fonction de la symétrie choisie.
mais dans le cas d'une symétrie quelconque, Ker(f) est engendré par l'idéal annulateur de la forme X²-1 nan?
euuuh j'ai pas vraiment compris ta phrase désolé, tout ce que l'on peut dire c'est que l'idéal engendré par X²-1 est inclu dans ker(f) puisque tu sais juste que s²-id = 0 . Mais je te l'accorde on a bien égalité dans le cas de la symétrie. Mais il faut le justifier en montrant que dans le cas ou s=Id ou -Id on a bien l'égalité de (x²-1) et de ker(f). Et que sinon, X²-1 est bien annulateur minimal.
Bon je dis ça mais j'ai quelques doutes sur ce que je raconte, quelqu'un d'autre pourait-il avoir l'amabilité d'infirmer ou de confirmer ce que je dis ?
d'accord. et dans le cas d'une projection, Im(f) = {P E K[X] / P(u)= IdE+(a0+a1+...an)u}
je crois que tu fais une légère confusion ^^ im(f) est un sous ev de l'ensemble des applications linéaires de E dans E, donc im(f) ne peut pas être un ensemble de polynômes
a quoi est donc égal alors Im(f) dans le cas d'une projection et d'une symétrie alors?
Dans le cas d'une symétrie qu'on appelle s, Im(f) est en fait l'ensemble des applications linéaires de la forme a*s + b*id, et pour le cas d'un projecteur p, je serais tenté de dire la mm chose en remplaçant le s par un p.
