Forme linéaire et trace de matrice

[invite99e47970]

Bonjour,
J'ai un exercice dans lequel je dois montrer :
∀f∈Mn (K)*, ∃A∈Mn (K), tq ∀X∈Mn (K), f(X)= tr(AX)
et en déduire les éléments f ∈ Mn(K)* tq ∀(X,Y)∈Mn(K), f(XY) = f(YX)

Pour la première partie, je pense qu'il faut passer par la base (Eij) de Mn(K), utiliser δij, mais je bloque, je n'arrive pas à organiser mon idée...
Et pour la deuxième partie de la question je pense qu'on doit trouver quelque chose du genre f = {k ∈ K / ∀X∈Mn(K) f(X)=k tr(X)}

Un peu d'aide ne serait pas de refus
Merci d'avance !
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[invite9cf21bce]

Bonjour,
J'ai un exercice dans lequel je dois montrer :
∀f∈Mn (K)*, ∃A∈Mn (K), tq ∀X∈Mn (K), f(X)= tr(AX)
et en déduire les éléments f ∈ Mn(K)* tq ∀(X,Y)∈Mn(K), f(XY) = f(YX)

Pour la première partie, je pense qu'il faut passer par la base (Eij) de Mn(K), utiliser δij, mais je bloque, je n'arrive pas à organiser mon idée...
Et pour la deuxième partie de la question je pense qu'on doit trouver quelque chose du genre f = {k ∈ K / ∀X∈Mn(K) f(X)=k tr(X)}

Un peu d'aide ne serait pas de refus
Merci d'avance !

Salut !

Tu as toutes les bonnes idées.

1) Tu as raison, considère :

• l'application . Tu devrais y reconnaître un élément de la base duale de la base canonique.
• l'application . Elle est linéaire ; ce qui précède montre mieux ; et un petit coup de dimension prouve encore mieux

2) Tu as encore raison.
Tu représente f sous la forme .
Pour toutes matrices X et Y, une CN est que tr(AXY)=tr(AYX), ou encore grâce aux propriétés de tr, que tr(YAX)=tr(AYX)
La dernière propriété vue au 1) montre alors que YA=AY !!

[invite99e47970]

Merci infiniment ^^