Besoin d'aide pour exercice ...

[invite9bd5593e]

Bonjour à tous !
Voila je suis en première année de Licence Maths-Info et je bloque sur un exercice j'arrive a rien faire et je commence a desesperer et perdre toute confiance en moi ! Jai fait une seule question ...
J'espere que je trouverez de l'aide sur votre forum. merci d'avance.


Voila l'exercice :

Soient E un ensemble, R une relation d'équivalence dans E, e appartien à E et z appartient E/R
On dit que e est un représentant de z et on écrit z = [e]R (ou eventuellement z=[e] ou z=e barr) si z est la classe de e modulo R

Soient N = { 0 , 1 , 2 ...} l'ensemble des nombres naturels et A=N*N

1) On définit la relation de R dans A donnée par
(x1,y1)R(x2,y2) <=> x1 + y2 = x2 + y1
Montrer que R est une relation d"équivalence : J'ai su faire

2) Appelons Q l'espace quotient A/R et définissons l'opération * dans Q de la facon suivante :
[(x1,y1)] * [(x2,y2)] = [(x1+x2, y1+y2)]
Montrer que cette opération est bien définie cad la definition ne dépend pas des représentants choisis.

3) Etant donné z € Q voir qu'il peut etre représenté par un (x,y) € A avec x=0 ou y=0
Piste : considérer z=[(a,b)] pour un certain (a,b) € A et distinguer les cas b>a , a>b et a=b

4) Est ce que vous pouvez identifier Q (muini de *) avec un ensemble (muni d'une certaine opération) que vous connaissez déja ? donner explicitement une bijection entre Q et cet ensemble.
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[invite986312212]

salut,

pour le point 2) il faut prendre le taureau par les cornes: prendre d'autres représentants: (x'1,y'1) et (x'2,y'2) et montrer que l'opération donne le même résultat avec ces représentants qu'avec les précédents.

[invite9bd5593e]

je comprends pas ce que tu veux dire par remplacer pard'autres representants , enfin si mais c'est le vide je vois pas a partir de quoi il faut que je parte
l'espace quotient ca correspond a quoi?
Je suis désolée mais je bloque completement j'arrive pas a voir le truc

[invite2c65a29c]

je comprends pas ce que tu veux dire par remplacer par d'autres representants

par exemple (0,1)R(1,2).ce sont deux représentants de la même classe de A/R.... il faut montrer qu'en remplaçant (0,1) par (1,2) dans l'opération * on obtient le même résultat

l'espace quotient ca correspond a quoi?

il s'agit de l'ensemble des différentes classes de A/R (mouais c'est un peu abstrait comme ca...
vois ca de façon géométrique:
A= NxN : c'est l'ensemble des points de coordonnées entières du quadrant supérieur droit de R²
on peut montrer facilement que deux points P et Q de A sont en relation si et seulement si:
-P=Q
ou -(PQ) est parallèle à la diagonale de A.

un classe déquivalence peut donc être vue comme une droite de parallèle à la diagonale.
l'axiome d'euclide permet d'associer à chacun des points de A une seule de ces droites et est donc un de ses représentants.
l'espace quotient est l'ensemble des droites de A parallèles à la diagonale.

ainsi la question 1) revenait à montrer que (*) permet de définir une opération interne sur les droites à partir d'une relation sur les points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9bd5593e]

oula je suis vraiment nulle pk meme avec vos conseils j'y arrive pas !
voila ce que j'ai essayé
je prend (x1,y1)R(x'1,y'1) et (x2,y2)R(x'2,y'2) etalors je dois trouver (x1+x2,y1+y2)R(x'1+x'2,y'1+y'2 )
le probleme c'es que je trouve pas (x1+x2,y1+y2)R(x'1+x'2,y'1+y'2 ) !!!!

[invite9bd5593e]

alors c'est bon j'ai reussi la question 2
par contre impossible de faire la questin 3 donc j'aurais vraiment besoin de votre aide, faut que je parte a partir de quoi ? car j'ai aucun début ...
je dois ecrire comme ça [(a,b)]*[(x,y)] ? j'y comprend rien avec les a,b , x, y

[invite9bd5593e]

(x,y) R (a,b) <=> x+b = a+y

j'ai regardé les cas ou a>b , b>a, a=b

b>a si x=0
a>b si y=0
a=b si x=y

voila ce qu ejai fait pour le moment ... j'ai suite la piste qu'il nous donné mais je vois a quoi ca sert ...
svt j'ai vreaiment besoin d'aide je bloque sur ca