Exos d´analyse complexe

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´étudie en ce moment l´analyse complexe, et bizarrement, on trouve sur le net une tapée de cours très bien faits, et même des exos, mais aucun exo corrigé. À moins que quelqu´un ait un tuyau? Bref, comme je sèche sur presque tous les exos, je vais donc m´adresser à Futura pour quelques résolutions.

Voilà le premier exo (d´autres suivront), il s´agit d´appliquer les notions sur les fonctions analytiques.

Soit f une fonction analytique sur un ouvert U de C. Montrer que si f n´est pas constante au voisinage de z_o, élément de U, il exite un voisinage V de z_o sur lequel on a:

z est dans V et f(z) = f(z_o) => z = z_o

J´ai la vague idée qu´il s´agit d´utiliser le principe des Zéros isolés, mais ma démarche n´a pas encore aboutit:

Si j´arrive à prouver qu´il existe un voisinage V de z_o inclus dans U et connexe, alors V est un ouvert connexe et comme l´application constante g(z) = -f(z_o) est analytique, leur somme f(z) - f(z_o) l´est aussi et on peut appliquer le principe des zéros isolés. Puisque V est connexe, il ne possède pas de points isolés, donc pour tout z différent de z_o, z n´est pas un zéro de f(z) - f(z_o) donc f(z) est différent de f(z_o)

Ce qu´il me manque c´est justement la preuve qu´il existe ce V dans U, ouvert et connexe.

Si quelqu´un a une idée... merci d´avance

Christophe
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[invitee75a2d43]

Euh... Il me semble avoir trouvé la réponse: Puisque f est analytique, elle l´est en z_o, elle a donc un disque ouvert de convergence en z_o, et comme tout disque, il est connexe, donc ouvert connexe. C´est ça?

[invite986312212]

je crois que tu te compliques la vie inutilement: C est un espace métrique: il existe un boule ouverte contenant z0 et contenue dans U.

[invitee75a2d43]

Euh... oui, juste.... Pourtant j´ai cherché longtemps.
Comme disait Godard (à moins que ce soit Bunuel) "Pourquoi faire simple, quand on peut aussi faire compliquer"
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]