Déterminant maximal d'une matrice 7x7

[sacha03200]

savez vous quelle est la matrice 7x7 ayant le plus grand determinant sachant qu'elle est construite qu'avec des zéro ou des uns ? merci bcp
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[invite4ef352d8]

Bonjour !

une question interessante ma fois.

je conjecture que le maximum est 6 (=7-1), qui est atteint par la matrice avec des 1 partous, sauf sur sa diagonal ou elle n'as que des zéros... (conjecture faite à partir du cas n=3 )

j'essairai de le prouver demain... ou au moins de faire une manip informatique pour voir si ca tiens la route...

[g_h]

Hello,

D'après Mathworld, il y a 75600 matrices 7x7 remplies de 0 et de 1 qui atteignent le déterminant de 32 (en valeur absolue par contre), donc moitié moins sans valeur absolue si je ne dis pas de bêtises.

sources :
http://mathworld.wolfram.com/Hadamar...ntProblem.html
http://mathworld.wolfram.com/01-Matrix.html

par contre, pour trouver une de ces matrices, faut se débrouiller je crois !

[g_h]

Je retire ce que j'ai dit (au sujet de la valeur absolue), on dirait bien qu'il y a 75600 matrices 7x7 remplies de 0 et de 1 ayant un déterminant de 32 (32 étant le maximum de ce qu'on puisse avoir).

En tous cas si on se fie à ça, une chose est sûre, il n'y a pas qu'une seule matrice atteignant le max comme le laissait sous-entendre ta question =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Vous l'aurez devnié, ce problème me titille x)

Voici une matrice 7x7 de déterminant 18 :

1, 1, 1, 1, 0, 0, 0
1, 1, 0, 0, 1, 1, 0
0, 0, 1, 1, 1, 1, 0
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1
0, 0, 0, 1, 1, 0, 1
0, 1, 1, 0, 0, 0, 1
1, 0, 0, 0, 0, 1, 1

pour 32, je ne trouve pas... pas encore!

[g_h]

Voilà, c'est reglé, voici l'une des 75600 élues de déterminant 32 :

0, 0, 1, 1, 0, 1, 1
0, 1, 1, 1, 1, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 1, 1
1, 1, 1, 0, 0, 1, 0
1, 0, 0, 1, 1, 1, 0
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1
1, 1, 0, 1, 0, 0, 1

J'avoue, j'ai trouvé cette dernière ici :
http://www.math.uni-frankfurt.de/~jo...TML/preis.html

apparemment ça a intéressé du monde!

[invitee2a89271]

ben surtout on voudrait avoir la preuve qu'on ne peut pas avoir plus

[invite986312212]

la norme d'un vecteur en 0,1 est plus petite que donc le déterminant est plus petit que , soit environ 907.5 ... c'est la meilleure borne à laquelle je pense, ça fait loin de 32!!

[sacha03200]

en faite si on trouve une matrice 7x7 dont le determinant est maximal en changeant deux lignes (resp deux colonnes) puis deux autres lignes (resp deux autres colonnes) on obtiendra le meme determinant mais pas la meme matrice, dc il y a autant de matrice 7x7 de determinant maximal qu'il n'y a de double permutations de lignes et/ou de colonnes. mais existe-t-il une methode concrete deja pour savoir la valeur maximal qu'une matrice 7x7 peut atteindre et une methode pour la trouver ?

[invitebe0cd90e]

http://www.math.uni-frankfurt.de/~jo...TML/preis.html

Il y a des liens interressants sur cette page : http://mathworld.wolfram.com/Hadamar...ntProblem.html

D'apres mathworld, une borne superieurs pour ce probleme, pour une matrice de taille n est



Pour n=7 on trouve bien 32, donc cette borne est optimale dans ce cas. D'apres le premier lien, il semblerait qu'il n'y ait pas de vraie methode pour trouver. La fille qui temoigne a employé un genre de methode d'optimisation combinatoire locale plutot elementaire.

On peut peut etre obtenir de bons resultats en utilisant des heuristiuqes combinatoires style algo genetique, ou colonies de fourmis couplée a une optimisation locale.